Genus (matematiikka)

Genus on topologiassa pinnan niin sanottujen kahvojen lukumäärä. Genus on siis kokonaisluku, joka kertoo montako erillistä silmukkaa myöten pinnan voi leikata auki niin että se pysyy yhtenäisenä.[1]

Kahvikupin pinnan genus on yksi, kuin myös toruksen.

MääritelmäMuokkaa

Seuraavat määritelmät aritmeettiselle ja geometriselle genukselle löytyvät Qing Liun kirjasta "Algebraic Geometry and Arithmetic Curves":

Olkoon   projektiivinen käyrä yli algebrallisesti suljetun kunnan  . Tällöin  :n aritmeettinen genus on määritellään Eulerin karakteristikan avulla

 

joka riippuu  :sta. Jos   on sileä projektiivinen varisto yli  :n, niin  :n geometrinen genus on

  missä   on dualisoituva (tai kanoninen) lyhde ja   tarkoittaa  :n nollatta Čechin kohomologiaryhmää.

Yleisesti ei-algebrallisesti suljetussa kunnassa   määritellään korkeampiuloitteisten ja ei-jaottoman variston aritmeettinen genus asettamalla[2]

 

missä   on rakennelyhteen Eulerin–Poincarén karakteristika.


Kun X on algebrallinen käyrä, jonka kuntana on kompleksiluvut, ja X:llä ei ole singulaarisia pisteitä, molemmat määritelmät kuvaavat pinnan kahvojen lukumäärää. Sen sijaan yleisessä tapauksessa aritmeettinen genus voi olla myös negatiivinen luku.

LähteetMuokkaa

  1. Kauko, Virpi: Monitahokkaiden topologiaa Matematiikkalehti Solmu. 4.10.2002. Viitattu 2.2.2012.
  2. What is an intuitive meaning of genus? math.stackexchange.com. 26.6.2012. Viitattu 26.6.2012.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.