Σ-kompakti avaruus
Matematiikassa topologisen avaruuden sanotaan olevan σ-kompakti, jos se on numeroituvan monen kompaktin aliavaruuden yhdiste.[1]
Avaruuden sanotaan olevan σ-paikallisesti kompakti, jos se on sekä σ-kompakti että paikallisesti kompakti. [2]
Ominaisuuksia ja esimerkkejä
muokkaa- Jokainen kompakti avaruus on σ-kompakti ja jokainen σ-kompakti avaruus on Lindelöf (eli jokaisella avoimella kannella on numeroituva alipeite).[3] Käänteiset implikaatiot eivät päde, esimerkiksi tavallinen euklidinen avaruus (Rn) on σ-kompakti mutta ei kompakti, [4] ja alarajatopologia reaalilukujen joukossa on Lindelöf mutta ei σ -kompakti. [5] Itse asiassa numeroituvan komplementin topologia missä tahansa ylinumeroituvassa joukossa on Lindelöf mutta ei σ-kompakti eikä paikallisesti kompakti. [6] Silti jokainen paikallisesti kompakti Lindelöf-avaruus on σ-kompakti.
- Hausdorff-avaruus, joka on myös Baire-avaruus ja σ-kompakti, on paikallisesti kompakti vähintään yhdessä pisteessä.
- Jos G on topologinen ryhmä ja G on paikallisesti kompakti yhdessä pisteessä, niin G on paikallisesti kompakti kaikkialla. Siksi edellinen ominaisuus kertoo, että jos G on σ -kompakti, Hausdorffin topologinen ryhmä, joka on myös Bairen avaruus, niin G on lokaalisti kompakti. Tämä osoittaa, että Hausdorffin topologisissa ryhmissä, jotka ovat myös Baire-avaruuksia, σ -kompaktisuus tarkoittaa paikallista kompaktisuutta.
- Edellinen ominaisuus viittaa esimerkiksi siihen, että Rω ei ole σ-kompakti: jos se olisi σ -kompakti, se olisi välttämättä paikallisesti kompakti, koska Rω on topologinen ryhmä, joka on myös Bairen avaruus.
- Jokainen puolikompakti avaruus on σ-kompakti. [7] Käänteinen implikaatio ei päde; [7] esimerkiksi rationaalilukujen joukko tavanomaisella topologialla on σ-kompakti mutta ei puolikompakti.
- Äärellisen määrän σ-kompakteja avaruuksia tulo on σ-kompakti. Kuitenkin äärettömän määrän σ-kompakteja tiloja tulo ei välttämättä ole σ-kompakti. [7]
- σ-kompakti avaruus X on toista kategoriaa (vastaavasti, Baire), jos ja vain jos niiden pisteiden joukko, joissa X on paikallisesti kompakti, on epätyhjä (vastaavasti, tiheä X:ssä). [8]
Katso myös
muokkaaLähteet
muokkaa- Steen, Lynn A. ja Seebach, J. Arthur Jr .; Vastaesimerkkejä julkaisussa Topology, Holt, Rinehart ja Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4 .
- Willard, Stephen: General Topology. Dover Publications, 2004. ISBN 0-486-43479-6