Srinivasa Ramanujan Aiyangar (tamiliksi ஸ்ரீநிவாச ராமானுஜன் ஐயங்கார் , Cīṉivāca Irāmāṉucaṉ Aiyaṅkār ) (22. joulukuuta 1887 Erode , Tamil Nadu , Intia – 26. huhtikuuta 1920 Madras (nyk. Chennai), Tamil Nadu, Intia) oli intialainen matemaatikko .[1]
Ramanujan julkaisi lukuisia kirjoituksia intialaisissa matemaattisissa julkaisuissa ja yritti sitten saada eurooppalaiset matemaatikot kiinnostumaan työstään. G. H. Hardylle vuonna 1913 lähetetty kirje sisälsi lukuisia lauseita ilman todistusta. Hardy oli ensin epäilevällä kannalla mutta kutsui sitten Ramanujanin Englantiin. Hardy huomasikin nopeasti Ramanujanin kyvyt. Lukua 1729 kutsutaan heidän mukaansa Hardyn–Ramanujanin luvuksi. Luku on tunnettu kaskusta , jonka mukaan Hardy tuli tapaamaan Ramanujania sairaalaan. Hardy kertoi tulleensa taksilla numero 1729. Hardy sanoi sen olevan varsin tylsä luku, mutta Ramanujan osasi heti kertoa, että luku on pienin kokonaisluku, joka on esitettävissä kahden positiivisen kuution summana kahdella eri tavalla. Hardy kertoo tästä esseessään Matemaatikon apologia [2]
Ramanujan työskenteli lähinnä analyyttisen lukuteorian ja analyysin parissa, ja hänet tunnetaan lukuisista vakioita ja alkulukuja koskevista kaavoistaan. Hän esitti monia kaavoja ilman muodollista todistusta, ja todistukset löydettiin vasta myöhemmin.
The Man Who Knew Infinity Dev Patel .
Ramanujanin syntymäpäivä (22. joulukuuta ) on vuodesta 2012 ollut matematiikan päivä Intiassa, jolloin juhlitaan matematiikan saavutuksia.[3]
Alkeismatematiikka Muokkaa Ramanujan todisti monia alkeellisia mutta kiehtovia tuloksia:
(
3
x
2
+
5
x
y
−
5
y
2
)
3
+
(
4
x
2
−
4
x
y
+
6
y
2
)
3
+
(
5
x
2
−
5
x
y
−
3
y
2
)
3
=
(
6
x
2
−
4
x
y
+
4
y
2
)
3
{\displaystyle (3x^{2}+5xy-5y^{2})^{3}+(4x^{2}-4xy+6y^{2})^{3}+(5x^{2}-5xy-3y^{2})^{3}=(6x^{2}-4xy+4y^{2})^{3}}
(
n
+
a
)
2
+
x
a
+
x
(
n
+
a
)
2
+
(
x
+
n
)
a
+
(
x
+
n
)
(
n
+
a
)
2
+
(
x
+
2
n
)
a
+
(
x
+
2
n
)
…
{\displaystyle {\sqrt {(n+a)^{2}+x\,a+x\,{\sqrt {(n+a)^{2}+(x+n)\,a+(x+n)\,{\sqrt {(n+a)^{2}+(x+2n)\,a+(x+2n)\,{\sqrt {\dots }}}}}}}}}
=
x
+
n
+
a
.
{\displaystyle =x\,+\,n\,+\,a.}
Hän kehitti monia approksimaatioita piille :
9
5
+
9
5
=
3.1416
+
{\displaystyle {\frac {9}{5}}+{\sqrt {\frac {9}{5}}}=3.1416^{+}}
3
4
+
2
4
+
1
2
+
(
2
3
)
2
4
=
2143
22
4
=
3.14159
2652
+
.
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}.}
Identiteettejä juurille:
3
+
2
5
4
3
−
2
5
4
4
=
5
4
+
1
5
4
−
1
=
1
2
(
3
+
5
4
+
5
+
125
4
)
,
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),}
28
3
−
27
3
=
1
3
(
98
3
−
28
3
−
1
)
,
{\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1\right),}
32
5
5
−
27
5
5
3
=
1
25
5
+
3
25
5
−
9
25
5
,
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},}
2
3
−
1
3
=
1
9
3
−
2
9
3
+
4
9
3
.
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}.}
Kombinatoriikka Muokkaa Ramanujan tutki Bernoullin lukuja ja löysi monia kiehtovia ominaisuuksia:
(
m
+
3
m
)
B
m
=
{
m
+
3
3
−
∑
j
=
1
m
/
6
(
m
+
3
m
−
6
j
)
B
m
−
6
j
,
jos
m
≡
0
(
mod
6
)
;
m
+
3
3
−
∑
j
=
1
(
m
−
2
)
/
6
(
m
+
3
m
−
6
j
)
B
m
−
6
j
,
jos
m
≡
2
(
mod
6
)
;
−
m
+
3
6
−
∑
j
=
1
(
m
−
4
)
/
6
(
m
+
3
m
−
6
j
)
B
m
−
6
j
,
jos
m
≡
4
(
mod
6
)
.
{\displaystyle {{m+3} \choose {m}}B_{m}={\begin{cases}{{m+3} \over 3}-\sum \limits _{j=1}^{m/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j},&{\mbox{jos}}\ m\equiv 0{\pmod {6}};\\{{m+3} \over 3}-\sum \limits _{j=1}^{(m-2)/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j},&{\mbox{jos}}\ m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{{m+3} \over 6}-\sum \limits _{j=1}^{(m-4)/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j},&{\mbox{jos}}\ m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}}
Äärettömät sarjat Muokkaa Ramanujan löysi monia äärettömiä sarjoja piille :
1
π
=
2
2
9801
∑
k
=
0
∞
(
4
k
)
!
(
1103
+
26390
k
)
(
k
!
)
4
396
4
k
.
{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}.}
Toinen hänen tuloksistaan äärettömille sarjoille on
[
1
+
2
∑
n
=
1
∞
cos
(
n
θ
)
cosh
(
n
π
)
]
−
2
+
[
1
+
2
∑
n
=
1
∞
cosh
(
n
θ
)
cosh
(
n
π
)
]
−
2
=
2
Γ
4
(
3
4
)
π
{\displaystyle \left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right]^{-2}+\left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right]^{-2}={\frac {2\Gamma ^{4}\left({\frac {3}{4}}\right)}{\pi }}}
kaikille
θ
{\displaystyle \theta }
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
gammafunktio . Hän todisti myös monia tuloksia hypergeometrisille sarjoille , kuten:
1
−
5
(
1
2
)
3
+
9
(
1
×
3
2
×
4
)
3
−
13
(
1
×
3
×
5
2
×
4
×
6
)
3
+
⋯
=
2
π
{\displaystyle 1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right)^{3}-13\left({\frac {1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {2}{\pi }}}
1
+
9
(
1
4
)
4
+
17
(
1
×
5
4
×
8
)
4
+
25
(
1
×
5
×
9
4
×
8
×
12
)
4
+
⋯
=
2
3
2
π
1
2
Γ
2
(
3
4
)
.
{\displaystyle 1+9\left({\frac {1}{4}}\right)^{4}+17\left({\frac {1\times 5}{4\times 8}}\right)^{4}+25\left({\frac {1\times 5\times 9}{4\times 8\times 12}}\right)^{4}+\cdots ={\frac {2^{\frac {3}{2}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}.}
Ensimmäinen tulos oli jo tunnettu, mutta toinen oli todennäköisesti uusi.
Ramanujan laski monia mielenkiintoisia integraaleja, kuten
∫
0
∞
1
+
x
2
/
(
b
+
1
)
2
1
+
x
2
/
(
a
)
2
×
1
+
x
2
/
(
b
+
2
)
2
1
+
x
2
/
(
a
+
1
)
2
×
⋯
d
x
=
π
2
×
Γ
(
a
+
1
2
)
Γ
(
b
+
1
)
Γ
(
b
−
a
+
1
2
)
Γ
(
a
)
Γ
(
b
+
1
2
)
Γ
(
b
−
a
+
1
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\cfrac {1+{x}^{2}/({b+1})^{2}}{1+{x}^{2}/({a})^{2}}}\times {\cfrac {1+{x}^{2}/({b+2})^{2}}{1+{x}^{2}/({a+1})^{2}}}\times \cdots \;\;dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\times {\frac {\Gamma (a+{\frac {1}{2}})\Gamma (b+1)\Gamma (b-a+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (a)\Gamma (b+{\frac {1}{2}})\Gamma (b-a+1)}}.}
Ketjumurtoluvut Muokkaa Ramanujan löysi suuren määrän kaavoja ketjumurtoluvuille :
1
+
1
1
⋅
3
+
1
1
⋅
3
⋅
5
+
1
1
⋅
3
⋅
5
⋅
7
+
1
1
⋅
3
⋅
5
⋅
7
⋅
9
+
⋯
+
1
1
+
1
1
+
2
1
+
3
1
+
4
1
+
5
1
+
⋯
=
e
⋅
π
2
{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\cdots +{1 \over 1+{1 \over 1+{2 \over 1+{3 \over 1+{4 \over 1+{5 \over 1+\cdots }}}}}}={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2}}}}
φ
+
2
−
φ
=
e
−
2
π
/
5
1
+
e
−
2
π
1
+
e
−
4
π
1
+
e
−
6
π
1
+
⋯
{\displaystyle {\sqrt {\varphi +2}}-\varphi ={\cfrac {e^{-2\pi /5}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\,\cdots }}}}}}}}}
missä
φ
=
1
+
5
2
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
kultainen leikkaus ;
1
1
+
e
−
2
π
5
1
+
e
−
4
π
5
1
+
e
−
6
π
5
⋱
=
(
5
1
+
5
5
3
4
(
5
−
1
2
)
5
2
−
1
−
5
+
1
2
)
⋅
e
2
π
/
5
.
{\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle 1+{\frac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{\displaystyle 1+{\frac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{\displaystyle 1+{\frac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{\ddots }}}}}}}}={\Biggl (}{\frac {\sqrt {5}}{1+^{5}{\sqrt {5^{\frac {3}{4}}({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}})^{\frac {5}{2}}-1}}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}{\Biggr )}\cdot e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.}
1
ψ
1
[
a
b
;
q
,
z
]
=
∑
n
=
−
∞
∞
(
a
;
q
)
n
(
b
;
q
)
n
z
n
=
(
b
/
a
,
q
,
q
/
a
z
,
a
z
;
q
)
∞
(
b
,
b
/
a
z
,
q
/
a
,
z
;
q
)
∞
{\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}
jos |q | < 1 ja |b /a | < |z | < 1.
Rogersin–Ramanujanin identiteetit :
G
(
q
)
=
∑
n
=
0
∞
q
n
2
(
q
;
q
)
n
=
1
(
q
;
q
5
)
∞
(
q
4
;
q
5
)
∞
=
1
+
q
+
q
2
+
q
3
+
2
q
4
+
2
q
5
+
3
q
6
+
⋯
{\displaystyle G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \,}
ja
H
(
q
)
=
∑
n
=
0
∞
q
n
2
+
n
(
q
;
q
)
n
=
1
(
q
2
;
q
5
)
∞
(
q
3
;
q
5
)
∞
=
1
+
q
2
+
q
3
+
q
4
+
q
5
+
2
q
6
+
⋯
{\displaystyle H(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots \,}
Muita q-sarjoja:
∑
k
=
0
∞
p
(
5
k
+
4
)
q
k
=
5
(
q
5
)
∞
5
(
q
)
∞
6
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)q^{k}=5{\frac {(q^{5})_{\infty }^{5}}{(q)_{\infty }^{6}}}}
∑
k
=
0
∞
p
(
7
k
+
5
)
q
k
=
7
(
q
7
)
∞
3
(
q
)
∞
4
+
49
q
(
q
7
)
∞
7
(
q
)
∞
8
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)q^{k}=7{\frac {(q^{7})_{\infty }^{3}}{(q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7})_{\infty }^{7}}{(q)_{\infty }^{8}}}}
missä p(n) on partitiofunktio . Tästä saadaan korollaareina kongruenssit
p
(
5
k
+
4
)
≡
0
(
mod
5
)
{\displaystyle p(5k+4)\equiv 0{\pmod {5}}}
p
(
7
k
+
5
)
≡
0
(
mod
7
)
.
{\displaystyle p(7k+5)\equiv 0{\pmod {7}}.}
Ramanujan löysi myös kolmannen kongruenssin:
p
(
11
k
+
6
)
≡
0
(
mod
11
)
.
{\displaystyle p(11k+6)\equiv 0{\pmod {11}}.}
Eisenstein-sarjat Muokkaa Määritellään
L
(
q
)
=
1
−
24
∑
n
=
1
∞
n
q
n
1
−
q
n
=
E
2
(
τ
)
{\displaystyle L(q)=1-24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}=E_{2}(\tau )}
M
(
q
)
=
1
+
240
∑
n
=
1
∞
n
3
q
n
1
−
q
n
=
E
4
(
τ
)
{\displaystyle M(q)=1+240\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{4}(\tau )}
N
(
q
)
=
1
−
504
∑
n
=
1
∞
n
5
q
n
1
−
q
n
=
E
6
(
τ
)
,
{\displaystyle N(q)=1-504\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}=E_{6}(\tau ),}
silloin on
q
d
L
d
q
=
L
2
−
M
12
{\displaystyle q{\frac {dL}{dq}}={\frac {L^{2}-M}{12}}}
q
d
M
d
q
=
L
M
−
N
3
{\displaystyle q{\frac {dM}{dq}}={\frac {LM-N}{3}}}
q
d
N
d
q
=
L
N
−
M
2
2
.
{\displaystyle q{\frac {dN}{dq}}={\frac {LN-M^{2}}{2}}.}
Nämä kaavat johtavat korollaareihin aritmeettisille funktioille .
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{4}+2^{4}+{\frac {1}{2+({\frac {2}{3}})^{2}}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.14159\ 2652^{+}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83bc388f8ce31e8849701e4f98abebb3bb2cf5f3)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/027f261d646f8a48895ad0b0153bfc6748cb93dc)
![{\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3444106b707ba14d569e2cf1de20d8dbc40e5448)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58849bde3247783bf5d785a1e9559aaab78b6b6)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa95e59c7524f055171a2618cb32705c4a8e7772)
![{\displaystyle \left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right]^{-2}+\left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right]^{-2}={\frac {2\Gamma ^{4}\left({\frac {3}{4}}\right)}{\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a33c82cda7dc8c5d5f428fe85aa38d96b6893fd1)
![{\displaystyle \;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}z^{n}={\frac {(b/a,q,q/az,az;q)_{\infty }}{(b,b/az,q/a,z;q)_{\infty }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1501ead1fa67d4b8da9f766d8a902d660e7c124f)
