Avaa päävalikko

Aritmeettinen funktio eli lukuteoreettinen funktio on kuvaus, joka on määritelty luonnollisille luvuille ja joka saa arvoksi kompleksilukuja. Aritmeettiset funktiot liittyvät lähinnä lukuteoriaan ja laskettavuuden teoriaan.

Aritmeettisia funktioita tutkitaan paljon Bellin sarjojen avulla. Funktiojoukkoa voidaan käsitellä myös kommutatiivisena renkaana kahteen joukossa määriteltyyn operaatioon nähden. Funktiojoukon tärkeimmät osajoukot ovat additiiviset ja multiplikatiiviset funktiot.

Sisällysluettelo

Matemaattisia määritelmiäMuokkaa

Formaalisti aritmeettiset funktiot määritellään seuraavasti:

 

missä   tarkoittaa luonnollisten lukujen joukkoa   ja   kompleksilukujen joukkoa.

Aritmeettiset funktiot muodostavat joukon, jonka keskuudessa voidaan määritellä erilaisia binäärioperaatioita. Nämä operaatiot siis muodostavat kahdesta joukon funktiosta uuden funktion. Keskeisiä operaatioita ovat seuraavat:

  • summa  , jota tarvitaan additiivisten funktioiden määrittelyssä sekä renkaan muodostamisessa:
 
  • tulo  , jota tarvitaan multiplikatiivisten funktioiden määrittelyssä:
 
  • Dirichlet'n tulo eli Dirichlet'n konvoluutio  , jota tarvitaan renkaan muodostamisessa:
 

Näissä   ja   ovat aritmeettisia funktioita ja   on positiivinen kokonaisluku. Merkintä   tarkoittaa, että   on jaollinen  :llä.

Funktiojoukon algebrallinen rakenneMuokkaa

Aritmeettisten funktioiden joukko   muodostaa yllä määriteltyjen summan ja Dirichlet'n tulon kanssa kommutatiivisen renkaan  . Tämän renkaan nolla- ja ykkösalkiot ovat aritmeettiset funktiot   ja  , jotka määritellään seuraavasti:

 
 

  ei ole kunta, sillä kaikille funktiojoukon funktioille ei löydy käänteisfunktiota Dirichlet'n tulon suhteen. Käänteisfunktio on vain sellaisilla aritmeettisilla funktioilla, joilla  .

EsimerkkejäMuokkaa

Aritmeettisia funktioita ovat esimerkiksi seuraavat:

  •  , tekijöiden summa -funktio
  •       (tässä   on imaginaariyksikkö)
  •  

Aritmeettisten funktioiden generoivia funktioitaMuokkaa

 
 
 
 

LähteetMuokkaa

  • William J. LeVeque, Fundamentals of Number Theory, 1996, Courier Dover Publications
  • Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, 1987, CRC Press
  • Pentti Haukkanen: Lukuteoriaa Tampereen yliopisto. Viitattu 18. syyskuuta 2007.
  • Matti Jutila & Iiro Honkala: Lukuteoria Syksy 2007. Turun yliopisto. Viitattu 18. syyskuuta 2007.