Lineaarinen aliavaruus

Lineaarinen aliavaruus eli vektorialiavaruus on vektoriavaruuden osajoukko, joka on itsekin vektoriavaruus käytetyn laskutoimituksen ja skalaarikunnan suhteen. Sitä kutsutaan hyvin usein vain aliavaruudeksi, jos ei ole vaaraa sekoittaa sitä topologiseen aliavaruuteen. Aliavaruuden dimensio on aina pienempi tai yhtä suuri kuin alkuperäisen avaruuden. Jos aliavaruus on pienempi kuin alkuperäinen avaruus, kutsutaan sitä aidoksi aliavaruudeksi.[1]

Jos V on vektoriavaruus ja W on sen osajoukko, niin W on avaruuden V aliavaruus jos ja vain jos , ja kaikilla .

Siis esimerkiksi -tason (eli --tason) aliavaruudet ovat itse (sen ainoa "epäaito aliavaruus"), jokainen origon läpi kulkeva suora ja "triviaali avaruus" , johon kuuluu pelkkä origo. Vastaavasti avaruuden aliavaruudet ovat , sekä kaikki origon sisältävät tasot ja suorat.

AliavaruuskriteeriMuokkaa

Aliavaruuskriteeri on lause, joka kertoo milloin jokin vektoriavaruus on toisen vektoriavaruuden aliavaruus. Olkoon   jokin vektoriavaruus ja   jokin sen osajoukko, joka ei ole tyhjä. Nyt joukko   on  :n aliavaruus, jos ja vain jos

 

Kaikilla vektoreilla   ja skalaareilla  .

(Tavanomaisimpien vektoriavaruuksien skalaarikuntana   on reaalilukujen joukko.)

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 22. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.