Avaa päävalikko

Lagrangen indeksilause

Lagrangen indeksilause tai Lagrangen lause on ryhmäteorian perustulos, jonka perusteella äärellisen ryhmän aliryhmän kertaluku jakaa tasan ryhmän kertaluvun. Nimestä huolimatta on hyvin todennäköistä, että sen ensimmäiseksi todisti Évariste Galois.[1]

LauseMuokkaa

Olkoon G äärellinen ryhmä ja H ryhmän G aliryhmä. Tällöin kertaluku   jakaa tasan kertaluvun   ja

 

missä luku n on aliryhmän H indeksi ryhmässä G.

TodistusMuokkaa

Oletetaan, että G on äärellinen ryhmä ja H on ryhmän G aliryhmä, jonka indeksi ryhmässä G on n. Määritellään joukon <G> relaatio ~: a ~ b jos ja vain jos

 

Kyseessä on ekvivalenssirelaatio, joten ryhmän G alkiot jakaantuvat keskenään pistevieraisiin ekvivalenssiluokkiin. Nämä ekvivalenssiluokat ovat nyt aliryhmän H määräämät vasemmat (tai oikeat) sivuluokat

 

Tunnetusti nyt

 

missä alkiot   ja kyseiset sivuluokat ovat keskenään pistevieraita. Koska jokaisessa sivuluokassa on yhtä monta alkiota pätee väite

 

missä luku n oli aliryhmän H indeksi ryhmässä G. Lauseen toinen väite seuraa nyt suoraan kokonaislukujen jaollisuuden määritelmästä.

SeurauksiaMuokkaa

Lagrangen lauseen nojalla äärellisen ryhmän aliryhmien kertaluvut eivät voi olla mitä tahansa lukuja, vaan niiden täytyy rajoittua ryhmän kertaluvun jakajiin. Erityisenä seurauksena tämän perusteella ryhmän alkion g kertaluku, joka määritellään alkion g generoiman syklisen ryhmän kertaluvuksi, jakaa tasan koko ryhmän kertaluvun.

Lagrangen lauseen käänteistulos ei päde yleisesti äärellisille ryhmille, sillä on olemassa ryhmiä, joilla ei ole kertalukua n olevia aliryhmiä, vaikka luku n jakaisikin ryhmän kertaluvun. Kertaluvultaan pienin esimerkki on alternoiva ryhmä A4. Se on kertalukua 12 oleva ryhmä, mutta sillä ei ole kertalukua 6 olevaa aliryhmää. Kuitenkin Lagrangen lauseen käänteistulos pätee esimerkiksi kaikille Abelin ryhmille.

Lagrangen lauseen käänteistulokselle on useita kuuluisia heikennyksiä. Sylowin lauseet takaavat kertalukua pk olevan aliryhmän olemassaolon, mikäli p on alkuluku, k on luonnollinen luku ja luku pk jakaa äärellisen ryhmän kertaluvun. Hallin lauseet yleistävät Sylowin lauseita äärellisille ratkeaville ryhmille.

LähteetMuokkaa

  1. Rotman, Joseph J.: An Introduction to the Theory of Groups, 4th edition, sivu 26. Springer-Verlag New York, Inc. 1995

KirjallisuuttaMuokkaa