Lagrangen indeksilause

Lagrangen indeksilause tai Lagrangen lause on ryhmäteorian perustulos, jonka perusteella äärellisen ryhmän aliryhmän kertaluku jakaa tasan ryhmän kertaluvun. Nimestä huolimatta on hyvin todennäköistä, että sen ensimmäiseksi todisti Évariste Galois.

Lause

Olkoon G äärellinen ryhmä ja H ryhmän G aliryhmä. Tällöin kertaluku $\left|H\right|$ jakaa tasan kertaluvun $\left|G\right|$ ja

$\left|G\right|=n\left|H\right|,$

missä luku n on aliryhmän H indeksi ryhmässä G.

Todistus

Oletetaan, että G on äärellinen ryhmä ja H on ryhmän G aliryhmä, jonka indeksi ryhmässä G on n. Määritellään joukon <G> relaatio ~: a ~ b jos ja vain jos

$ab^{-1}\in H\ \forall \ a,b\in G.$

Kyseessä on ekvivalenssirelaatio, joten ryhmän G alkiot jakaantuvat keskenään pistevieraisiin ekvivalenssiluokkiin. Nämä ekvivalenssiluokat ovat nyt aliryhmän H määräämät vasemmat (tai oikeat) sivuluokat

$aH=\{ah\ |\ h\in H\}.$

Tunnetusti nyt

$G=H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \ldots \cup a_{n}H\ ,$

missä alkiot $a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}\in G\$ ja kyseiset sivuluokat ovat keskenään pistevieraita. Koska jokaisessa sivuluokassa on yhtä monta alkiota pätee väite

$\left|G\right|=n\left|H\right|,\$

missä luku n oli aliryhmän H indeksi ryhmässä G. Lauseen toinen väite seuraa nyt suoraan kokonaislukujen jaollisuuden määritelmästä.

Seurauksia

Lagrangen lauseen nojalla äärellisen ryhmän aliryhmien kertaluvut eivät voi olla mitä tahansa lukuja, vaan niiden täytyy rajoittua ryhmän kertaluvun jakajiin. Erityisenä seurauksena tämän perusteella ryhmän alkion g kertaluku, joka määritellään alkion g generoiman syklisen ryhmän kertaluvuksi, jakaa tasan koko ryhmän kertaluvun.

Lagrangen lauseen käänteistulos ei päde yleisesti äärellisille ryhmille, sillä on olemassa ryhmiä, joilla ei ole kertalukua n olevia aliryhmiä, vaikka luku n jakaisikin ryhmän kertaluvun. Kertaluvultaan pienin esimerkki on alternoiva ryhmä A₄. Se on kertalukua 12 oleva ryhmä, mutta sillä ei ole kertalukua 6 olevaa aliryhmää. Kuitenkin Lagrangen lauseen käänteistulos pätee esimerkiksi kaikille Abelin ryhmille.

Lagrangen lauseen käänteistulokselle on useita kuuluisia heikennyksiä. Sylowin lauseet takaavat kertalukua p^k olevan aliryhmän olemassaolon, mikäli p on alkuluku, k on luonnollinen luku ja luku p^k jakaa äärellisen ryhmän kertaluvun. Hallin lauseet yleistävät Sylowin lauseita äärellisille ratkeaville ryhmille.

Kirjallisuutta

• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0