Avaa päävalikko

Jos on ryhmän aliryhmä ja , niin ryhmän osajoukkoa

kutsutaan alkion a määräämäksi aliryhmän vasemmaksi sivuluokaksi. Vastaavasti osajoukkoa

kutsutaan alkion a määräämäksi aliryhmän oikeaksi sivuluokaksi. Vasempia ja oikeita sivuluokkia kutsutaan yhteisellä nimellä sivuluokka, mikäli puolella ei ole merkitystä. Yleisessä tapauksessa tosin . Aliryhmää , jolla pätee kaikilla sanotaan ryhmän normaaliksi aliryhmäksi. Esimerkiksi kaikkien Abelin ryhmien aliryhmät ovat normaaleja. [1]

Sivuluokilla on merkittävä osa ryhmäteoreettisissa tarkasteluissa. Sivuluokkien avulla voidaan esimerkiksi helposti todistaa Lagrangen lause ja ne esiintyvät myös ryhmän tekijäryhmien alkioina.

OminaisuuksiaMuokkaa

Olkoon   on ryhmän   aliryhmä ja  . Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä

  • alkio b kuuluu alkion a määräämään aliryhmän   vasempaan sivuluokkaan,
  •   eli alkioiden a ja b määräämät aliryhmän   vasemmat sivuluokat ovat samat,
  •   eli alkioiden a ja b käänteisalkioiden määräämät aliryhmän   oikeat sivuluokat ovat samat ja
  •  

Erityisesti viimeinen ehto osoittautuu hyödylliseksi, sillä relaatio   kaikilla   on joukon   ekvivalenssirelaatio. Tämän relaation ekvivalenssiluokat ovat aliryhmän   vasemmat sivuluokat. Täten vasemmat sivuluokat ovat keskenään pistevieraita ja

 

eli ryhmä   voidaan esittää vasempien sivuluokkien unionina. Aliryhmäkriteerin nojalla aliryhmä   on eräs omista sivuluokistaan.

Koska funktio

 

on bijektio kaikilla  , niin aliryhmällä   on sama mahtavuus kaikkien vasempien sivuluokkiensa kanssa. Erityisesti, mikäli   on äärellinen ryhmä, niin aliryhmän   kaikissa sivuluokissa on yhtä monta alkiota.

Kaikki edellä esitellyt ominaisuudet pätevät sopivin muutoksin myös oikeille sivuluokille. Lisäksi koska kuvaus

 

on hyvin määritelty ja bijektio, niin aliryhmän   vasempien sivuluokkien joukko on yhtä mahtava oikeiden sivuluokkien joukon kanssa. Erityisesti, mikäli vasempia sivuluokkia on äärellinen määrä, niin aliryhmän   vasempien sivuluokkien lukumäärä on sama kuin aliryhmän   oikeiden sivuluokkien lukumäärä. Tätä lukua kutsutaan aliryhmän   indeksiksi ryhmässä  .

Hallin todistaman lauseen mukaan, mikäli   ja aliryhmän indeksi ryhmässä   on n, niin voidaan valita sellaiset alkiot  , että lista   sisältää kaikki vasemmat sivuluokat ja lista   sisältää kaikki oikeat sivuluokat.

Muuta huomionarvoistaMuokkaa

Ryhmän multiplikatiivisessa esityksessä sivuluokkia merkitään yleensä   ja  , additiivisessa   ja  . Tässä merkinnässä  :n paikalle ajatellaan sijoitetuksi jokainen  :n alkio erikseen, jolloin saadaan täsmälleen sivuluokan alkiot.

Erityisesti renkaiden ollessa kyseessä sivuluokkia kutsutaan myös jäännösluokiksi.

LähteetMuokkaa

  1. Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 147–157. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.