Avaa päävalikko

Syklinen ryhmä on yhden alkion generoima ryhmä.[1] On siis olemassa ryhmän alkio , jonka kokonaislukupotensseina saadaan kaikki ryhmän alkiot. Siis jokaista ryhmän alkiota kohti on olemassa sellainen kokonaisluku , että Tällöin merkitään

[2]

Ei-triviaaleja syklisiä ryhmiä löytyy aliryhminä kaikista ei-triviaaleista ryhmistä. Sykliset ryhmät ovat rakenteeltaan hyvin suoraviivaisia, ja esimerkiksi syklisen ryhmän aliryhmiin liittyvä rakenne tunnetaan täysin. Äärellisten ryhmien teoriassa syklisten ryhmien voidaan ajatella olevan Abelin ryhmien rakennuspalikoita suorien tulojen kautta ja ratkeavien ryhmien perusosasia kompositioketjun tekijöinä.

Syklinen ryhmä voi koostua joko n:stä alkiosta , tai se voi olla ääretön ryhmä .

Sisällysluettelo

Kertalukua olevan syklisen ryhmän konstruointiMuokkaa

Olkoon   mielivaltainen   alkiota sisältävä joukko, missä n on mielivaltainen positiivinen kokonaisluku. Numeroidaan joukon alkiot

 

ja asetetaan joukolle   binäärinen operaatio   seuraavasti:

  mikäli   ja
  mikäli  

kaikilla kokonaisluvuilla   Kokonaislukujen laskutoimitusten nojalla pari   toteuttaa ryhmän aksioomat. Tällöin alkio   on ryhmän neutraalialkio, alkion   käänteisalkio on alkio   missä   Lisäksi alkio   generoi ryhmän  

Syklisten ryhmien ominaisuuksiaMuokkaa

  • Sykliset ryhmät ovat kommutatiivisia, ts. Abelin ryhmiä.
  • Kaikki syklisen ryhmän aliryhmät ja tekijäryhmät ovat syklisiä.
  • Kaksi äärellistä syklistä ryhmää ovat keskenään isomorfisia, jos ja vain jos niiden kertaluvut ovat samat. Erityisesti siis kaikki kertalukua   olevat äärelliset sykliset ryhmät ovat keskenään isomorfisia.
  • Jos ryhmän kertaluku on alkuluku, niin ryhmä on välttämättä syklinen.
  • Äärellinen syklinen ryhmä on yksinkertainen, jos ja vain jos sen kertaluku on alkuluku. Itse asiassa ryhmät, joiden kertaluku on alkuluku, ovat ainoat äärelliset yksinkertaiset ratkeavat ryhmät.

Olkoon jatkossa   kertalukua   oleva syklinen ryhmä.

  • Jokaista kertaluvun   jakajaa   kohti on olemassa täsmälleen yksi ryhmän   kertalukua   oleva aliryhmä. Jos  , missä   on positiivinen kokonaisluku, niin tämä kertalukua   oleva aliryhmä on  
  • Jokaista kertaluvun   jakajaa   kohti on olemassa täsmälleen yksi ryhmän   kertalukua   oleva tekijäryhmä.
  • Ryhmän   automorfismien ryhmä on isomorfinen ryhmän   kanssa.

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 367–368. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
  2. Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan, s. 123. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.