Avaa päävalikko

Eulerin lause (funktioteoria)

(Ohjattu sivulta Eulerin lause)
Tämä artikkeli käsittelee Eulerin kaavaa kompleksianalyysissa, muut merkitykset sivulla Euler.

Eulerin lause tai Eulerin kaava (nimetty Leonhard Eulerin mukaan) on kompleksianalyysiin liittyvä matemaattinen kaava, joka ilmaisee kompleksilukujen toisaalta eksponenttifunktioon ja toisaalta trigonometriaan perustuvan esityksen välisen yhteyden.

Eulerin lause sanoo, että kompleksiluvulle e pätee yhtälö

missä on imaginaariyksikkö ja φ on vaihekulma radiaaneina.[1] Luku z1 = e on kompleksitason yksikköympyrällä sijaitseva kompleksiluku ja sen itseisarvo on yksi. Sen vaihekulma eli kulma suhteessa positiiviseen reaaliakseliin on φ. Muita kuin itseisarvoltaan ykkösen suuruisia kompleksilukuja kuvataan kertoimen r avulla: z2 = re. Kulmaan perustuvalla kompleksiluvun esittämisellä on yhteys esitystapaan :

missä r = |z|, x = r cos φ ja y = r sin φ.

HistoriaMuokkaa

Eulerin lauseen todisti ensimmäisen kerran Roger Cotes vuonna 1714, mutta vasta Leonhard Eulerin lausetta koskeva työ vuonna 1748 toi sen lopullisesti matemaatikkojen tietoisuuteen. Kompleksilukujen esittämistä tasossa ei kuitenkaan 1700-luvulla vielä tunnettu, joten kumpikaan miehistä ei huomannut lauseen geometrista tulkintaa.

HuomioitavaaMuokkaa

Geometrinen tulkintaMuokkaa

 
Kompleksilukua e kuvaava piste sijaitsee kompleksitason yksikköympyrällä origosta alkavan nuolen kärjessä.

Eulerin lause voidaan tulkita siten, että funktio e piirtää yksikköympyrän kompleksitasolle, kun φ kulkee vähintään 2π:n mittaisen reaalilukujoukon läpi. Tässä φ on kulma, jonka kompleksitason pisteeseen origosta piirretty viiva muodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa. Kulmaa mitataan tässä yhteydessä radiaaneina. Eulerin lause pätee ainoastaan, mikäli funktiot sin φ ja cos φ on määritelty radiaaneille eikä asteille.

Eulerin lause muodostaa vahvan yhteyden analyysin sekä trigonometrian välille. Lausetta käytetään hyväksi kompleksilukujen napakoordinaattiesityksessä, ja se antaa mahdollisuuden logaritmifunktion määrittelyyn kompleksiluvuille.

Eksponenttifunktion laskukaavoista

 

ja

 

voidaan johtaa Eulerin lauseen avulla useita trigonometristen funktioiden lainalaisuuksia. Trigonometriset funktiot voidaan jopa määritellä kompleksilukujen eksponenttifunktion laajennuksina (vertaa hyperbolisten funktioiden kaavat):

 
 

Eulerin identiteettiMuokkaa

Sijoittamalla

 

saa Eulerin lause kuuluisan Eulerin identiteetiksi kutsutun muodon

 

jota on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi. Se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1 ja 0. Siinä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen.

Todistus Taylorin sarjan avullaMuokkaa

Funktiot ex, cos(x) ja sin(x) (olettaen, että x on reaalinen) voidaan Taylorin sarjan avulla kirjoittaa:

 
 
 

Kompleksisille z määritellään vastaavat funktiot Taylorin sarjan avulla korvaten x:t muuttujalla iz. Havaitaan, että

 
 
 
 

LähteetMuokkaa

  1. Courant, Richard & John, Fritz: ”7.7”, Introduction to Calculus and Analysis 1. Springer, 1989. ISBN 3-540-65058-X.

KirjallisuuttaMuokkaa