Aallokemuunnos on 1980-luvulta lähtien yleistynyt sovelletun matematiikan menetelmä, jota hyödynnetään mm. digitaalisessa signaalinkäsittelyssä ja harmonisessa analyysissä[1]. Se on korvaamassa monessa sovellutuksessa Fourier-muunnoksen. Toisin kuin Fourier-muunnoksessa, joka määrittelee signaalin jatkuvien trigonometristen funktioiden lineaarikombinaationa, aallokemuunnoksessa signaalin muodostavat osafunktiot ovat lokaaleja.

Aallokemuunnos tehdään suodattamalla syötesignaali käyttäen kantafunktiosta johdettujen aalloke- ja skaalausfunktioiden eri tavalla skaalattuja ja aika-avaruudessa siirrettyjä variaatioita.

Yleisesti käytössä on ns. diskreetti aallokemuunnos, jossa aallokkeiden skaalaus ja siirto määritellään diskreettien kokonaislukuparametrien avulla. On myös olemassa ns. jatkuva aallokemuunnos, jossa skaalaus- ja siirtoparametrit voivat olla mitä tahansa reaalilukuja.[1]

Diskreetti aallokemuunnos Muokkaa

Olkoon   aallokefunktio tai "äiti-aalloke". Sen muodostomaa funktioperhettä

 

kutsutaan aallokejärjestelmäksi, jonka avulla voidaan määritellä diskreetti aallokemuunnos:

 

missä   on funktioavaruuden   sisätulo. Aallokemuunnoksen arvoja   kutsutaan funktion   aallokekertoimiksi. Fourier-muunnoksen tavoin niiden avulla on mahdollista analysoida funktion ominaisuuksia eri skaaloissa tai taajuuksilla, mutta lokaalisti: jokainen aalloke   on keskitetty ainoastaan   pituiselle osalle avaruutta  . Parametrin   kasvaessa aallokkeiden koko pienenee ja niillä voidaan analysoida funktiota   entistä pienemmillä väleillä, eli korkeammalla resoluutiolla.

Erityisen suosittuja ovat aallokefunktiot  , joiden muodostama aallokejärjestelmä on avaruuden   (tai sen aliavaruuden) kanta. Tällaisia aallokeperheitä on vuosien mittaan kehitetty lukuisia. Esim. Alfréd Haarin kehittämä Haarin aalloke, Ingrid Daubechiesin kompaktikantajaiset aallokeperheet ja Jean Morletin kompleksilukuarvoinen Morlet-aallokke.[2].

Kannan määritelmän mukaisesti kaikki avaruuden alkiot voidaan esittää kannan avulla. Aallokkeiden tapauksessa mikä tahansa   voidaan ilmaista sen aallokertoimien avulla:

 

Tällöin lineaarinen analyysioperaattori   on Hilbertin avaruuksien välinen unitaarinen operaattori, jonka käänteismuunnos (eli synteesioperaattori) on

 ,

millä tahansa  .[3]

Lähteet Muokkaa

  1. a b Daubechies, IngridTen lectures on wavelets. Pennsylvania, USA: SIAM, 1992. ISBN 0-89871-274-2.
  2. Mallat, Stéphane: A Wavelet Tour of Signal Processing. USA: Elsevier, 1999. ISBN 978-0-12-466606-1.
  3. Christensen, Ole: An Introduction to Frames and Riesz Bases, Second Edition. Boston, USA: Birkhäuser, 2016.

Kirjallisuutta Muokkaa

  • Boggess, Albert; Narcowich, Francis J.: A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. New Jersey, USA: John Wiley & Sons, 2015.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.