Cassinin käyrä

Cassinin käyrä on tasokäyrä, niiden pisteiden ura, joiden etäisyyksien tulo kahdesta kiinteästä pisteestä lukien on tietty vakio. Määritelmä muistuttaa ellipsin määritelmää, jossa kuitenkin näiden etäisyyksien summa on vakio, ei tulo. Cassinin käyrä on saanut nimensä tähtitieteilijä Giovanni Domenico Cassinin mukaan, joka tutki tällaisia käyriä vuonna 1680.

Joitakin Cassinin käyriä. (b=0.6a, 0.8a, a, 1.2a, 1.4a, 1.6a)

Muodollinen määritelmä

Olkoot q₁ ja q₂ kaksi kiinteää pistettä tasossa ja b jokin vakio. Tällöin Cassinin käyrä, jonka polttopisteet ovat q₁ ja q₂, määritellään niiden pisteiden p uraksi, joiden etäisyyksien tulo pisteistä q₁ ja q₂ on b². Jos siis funktio dist(x,y) määritellään pisteiden x ja y väliseksi etäisyydeksi, kaikki Cassinin käyrän pisteet toteuttavat yhtälön

$\operatorname {dist} (q_{1},p)\times \operatorname {dist} (q_{2},p)=b^{2}.\,$

Käyrän yhtälö

Yksinkertaisimmassa tapauksessa Cassinin käyrän molemmat polttopisteet ovat suorakulmaisen koordinaatiston x-akselilla samalla etäisyydellä origosta. Jos tämä etäisyys on a, nämä pisteet ovat (a, 0) ja (-a, 0). Tällöin käyrän yhtälö on

$((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}.\,$

Tämä voidaan sieventää muotoon

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}.\,$

Cassinin käyrä on siis neljännen asteen käyrä.

Napakoordinaatistossa yhtälö on

$r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}.\,$

Käyrän muoto

Käyrän muoto riippuu suhteesta e=b/a. Kaikki Cassinin käyrät, joilla tämä suhde on yhtä suuri, ovat yhdenmuotoisia.

Jos e on suurempi kuin 1, käyrä on yksiosainen silmukka, joka sulkee sisäänsä molemmat polttopisteet. Käyrä on lisäksi kupera, jos e on suurempi kuin ${\sqrt {2}}$; muussa tapauksessa sen sisään jäävä alue on keskeltä kapeampi kuin polttopisteiden kohdalla..

Jos e on pienempi kuin 1, käyrä muodostuu kahdesta erillisestä silmukasta, joista kumpikin sulkee sisäänsä yhden polttopisteen. Jos e=1 eli b=a, käyrä leikkaa itsensä origossa. Tämä Cassinin käyrän erikoistapaus tunnetaan myös Bernoullin lemniskaattana, ja sen yhtälö yksinkertaistuu muotoon

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=0$.

Rajatapauksessa, kun a → 0 (ja e → $\infty$), käyrä lähestyy muodoltaan ympyrää

$(x^{2}+y^{2})^{2}=b^{4}$

eli yksinkertaisemmin

$(x^{2}+y^{2})=b^{2}.\,$

Lähteet

• J. Dennis Lawrence: A catalog of special plane curves, s. 5,153–155. Dover Publications, 1972. ISBN 0-486-60288-5.
• A.B. Basset: An Elementary Treatise on Cubic and Quartic Curves, s. 162 seur.. Lontoo: Deighton Bell and Co., 1901.
• Lawden, D. F., "Families of ovals and their orthogonal trajectories", Mathematical Gazette 83, November 1999, 410-420.

Aiheesta muualla

• MacTutor description (Arkistoitu – Internet Archive)
• 2Dcurves.com description
• "Ovale de Cassini", Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (ranska)