Solmumenetelmä

Solmumenetelmä on eräs sähköisten virtapiirien ja verkkojen ratkaisuun liittyvä systemaattinen menetelmä. Tavoitteena on laskea verkon solmupisteiden jännitteet, kun verkon lähdesuureet ja komponentit tunnetaan.

Havainnollistava esimerkkipiirikaavio piirianalyysissa hyödynnettävästä solmumenetelmästä.

Verkon rakenne ja komponentit

Verkko koostuu solmupisteistä ja niitä yhdistävistä haaroista. Solmuksi sanotaan jokaista verkon pistettä, jossa kaksi tai useampia komponentteja kytkeytyy yhteen. Varsinaisiksi solmupisteiksi laskentaa varten kannattaa ottaa vain ne solmut, joissa yhdistyy kolme tai useampia haaroja. Jos jossain verkon haarassa on useita komponentteja sarjassa ne voidaan yhdistää yhdeksi komponentiksi. Tällöin jokainen haara sisältää vain yhden komponentin.

Verkko voi koostua tavanomaisista passiivisista sähköisistä komponenteista kuten vastuksista, keloista ja kondensaattoreista sekä aktiivisista virta- ja jännitelähteistä. Solmumenetelmää voidaan käyttää sekä tasa- että vaihtosähköverkoissa. Verkko voi sisältää myös ohjattuja virta- ja jännitelähteitä.

Solmumenetelmässä passiiviset komponentit esitetään tavallisesti admittansseina tai konduktansseina ja aktiiviset komponentit virtalähteinä. Verkon sisältämät jännitelähteet muunnetaan virtalähteiksi. Verkko voi sisältää myös muuntajia tai yleensäkin keskinäisinduktansseja. Tällöin kuitenkin saattaa olla luontevampaa käyttää silmukkamenetelmää.

Verkon yhtälöiden kirjoittaminen

Solmumenetelmässä ratkaistaan verkon solmupisteiden jännitteet johonkin valittuun kantasolmuun nähden. Kantasolmun potentiaali voidaan valita vapaasti ja tavallisesti se asetetaan nollaksi, joten se oletetaan ikäänkuin maadoitetuksi. Kantasolmun valinta voidaan tehdä vapaasti. Piiristä riippuen voi kuitenkin olla edullista valita joku määrätty solmu kantasolmuksi. Esimerkiksi verkon piste, joka jo on maadoitettu.

Kun kantasolmu on valittu ja muut solmut numeroitu, niin muodostetaan jokaiselle solmulle (paitsi kantasolmulle) Kirchhoffin virtalakiin perustuva yhtälö:

$\Sigma I_{i}=0$

Toisin sanoen solmuun tulevien virtojen summa on nolla. Käytännössä solmun yhtälön toiselle puolelle kirjoitetaan solmuun tulevien tunnettujen lähdevirtojen summa ja toiselle puolelle solmusta lähtevien haarojen toistaiseksi tuntemattomat virrat.

$\Sigma J_{a_{i}}=\Sigma I_{a,j}$

Haarojen virrat lasketaan solmujen tuntemattomien jännitteiden avulla ohmin lain mukaan. Esimerkiksi virta solmusta $a$ solmuun $1$ lasketaan:

$I_{a,1}=Y_{a,1}(U_{a}-U_{1})$

Tässä $Y_{a,1}$ on solmuja $a$ ja $1$ yhdistävän haaran admittanssi, $U_{a}$ on solmun $a$ jännite, $U_{1}$ on solmun $1$ jännite ja $I_{a,1}$ on haaran virta solmusta $a$ solmuun $1$. Kun lasketaan kaikki solmuun $a$ tulevat lähdevirrat ja siitä poistuvat haarojen virrat saadaan solmun $a$ yhtälöksi:

$\Sigma J_{a_{i}}=(U_{a}-U_{1})Y_{a,1}+(U_{a}-U_{2})Y_{a,2}+...+(U_{a}-U_{n})Y_{a,n}$

Ryhmittelemällä oikea puoli uudestaan saadaan.

$\Sigma J_{a_{i}}=(Y_{a,1}+Y_{a,2}+...+Y_{a,n})U_{a}-Y_{a,1}U_{1}-Y_{a,2}U_{2}-...-Y_{a,n}U_{n}$

Kun kaikille solmuille on kirjoitettu ylläolevan muotoiset yhtälöt, niin saadaan lineaarinen yhtälöryhmä. Siinä tuntemattomia ovat solmupisteiden jännitteet ja tunnettuja lähdevirrat ja komponenttien arvot. Yhtälöiden lukumäärä on sama kuin solmujen tuntemattomien jännitteiden lukumäärä. Näin ollen solmujen jännitteet on laskettavissa yhtälöryhmästä.

Kirjoitetaan vielä yhtälöt kaikille solmuille:

$\Sigma J_{1_{i}}=(Y_{1,2}+Y_{1,3}+...+Y_{1,n})U_{1}-Y_{1,2}U_{2}-Y_{1,3}U_{3}-...-Y_{1,n}U_{n}$

$\Sigma J_{2_{i}}=-Y_{2,1}U_{1}+(Y_{2,1}+Y_{2,3}+...+Y_{2,n})U_{2}-Y_{2,3}U_{3}-...-Y_{2,n}U_{n}$

$\Sigma J_{3_{i}}=-Y_{3,1}U_{1}-Y_{3,2}U_{2}+(Y_{3,1}+Y_{3,2}+...+Y_{3,n})U_{3}-...-Y_{3,n}U_{n}$

$...$

$\Sigma J_{n_{i}}=-Y_{n,1}U_{1}-Y_{n,2}U_{2}-Y_{n,3}U_{3}-...+(Y_{n,1}+Y_{n,2}+Y_{n,3}+...+Y_{n,n-1})U_{n}$

Yhtälöissä on huomattava, että useimmat admittanssit ovat nollia, koska solmuilla ei tavallisesti ole välitöntä yhteyttä kaikkiin muihin solmuihin. Ainoastaan naapurisolmuihin kytkeytyvät admittanssit huomioidaan.

Verkon yhtälöt matriiseilla esitettynä

Edellä oleva yhtälöryhmä voidaan esittää myös matriisiyhtälönä.

${\begin{bmatrix}\Sigma J_{1_{i}}\\\Sigma J_{2_{i}}\\\Sigma J_{3_{i}}\\...\\\Sigma J_{n_{i}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{1,2}+Y_{1,3}+...+Y_{1,n}&-Y_{1,2}&-Y_{1,3}&...&-Y_{1,n}\\-Y_{2,1}&Y_{2,1}+Y_{2,3}+...+Y_{2,n}&-Y_{2,3}&...&-Y_{2,n}\\-Y_{3,1}&-Y_{3,2}&Y_{3,1}+Y_{3,2}+...+Y_{3,n}&...&-Y_{3,n}\\...&...&...&...&...\\-Y_{n,1}&-Y_{n,2}&-Y_{n,3}&...&Y_{n,1}+Y_{n,2}+Y_{n,3}+...+Y_{n,n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\\U_{3}\\...\\U_{n}\end{bmatrix}}$

Yhdistämällä admittanssimatriisin diagonaalilla olevat haarojen admittanssit yhtälö voidaan vielä kirjoittaa yleisemmässä muodossa.

${\begin{bmatrix}\Sigma J_{1_{i}}\\\Sigma J_{2_{i}}\\\Sigma J_{3_{i}}\\...\\\Sigma J_{n_{i}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}&-Y_{12}&-Y_{13}&...&-Y_{1n}\\-Y_{21}&Y_{22}&-Y_{23}&...&-Y_{2n}\\-Y_{31}&-Y_{32}&Y_{33}&...&-Y_{3n}\\...&...&...&...&...\\-Y_{n1}&-Y_{n2}&-Y_{n3}&...&Y_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\\U_{3}\\...\\U_{n}\end{bmatrix}}$

Tässä admittanssimatriisin diagonaalilla oleva admittanssi $Y_{ii}$ on solmuun $i$ yhdistyvien haarojen admittanssien summa. Admittanssi $Y_{ij}$ on solmujen $i$ ja $j$ välisen haaran admittanssi. Admittanssimatriisi onkin kirjoitettavissa suoraan sijoittamalla diagonaalille naapurisolmuihin yhdistyvien admittanssien summat ja muihin kohtiin niiden admittanssit negatiivisina. Tässä on huomioitava, että solmujen jännitteet on otettu kaikki solmuista kantasolmuun päin. Jos jännitteiden suuntia muutetaan, niin muuttuvat myös admittanssien etumerkit.

Matriisiyhtälö on kirjoitettavissa vielä muodollisesti seuraavasti.

$\mathbf {J} =\mathbf {Y} \mathbf {U}$

Siinä $\mathbf {J}$ on solmuihin tulevien tunnettujen lähdevirtojen muodostama pystyvektori, $\mathbf {Y}$ on verkon haarojen tunnetuista admittansseista muodostettu matriisi ja $\mathbf {U}$ on solmujen tuntemattomista jännitteistä muodostettu pystyvektori.

Keskinäisinduktanssin huomioon ottaminen

Keskinäisinduktanssin laskeminen

Mikäli vaihtovirtaverkossa haarojen välillä on keskinäisinduktanssia on se otettava erikseen huomioon. Oheisessa kuvassa on kaksi haaraa, joiden välillä on keskinäisinduktanssi $M_{1,2}$. Haarojen admittanssit ja vastaavat impedanssit on merkitty kuvaan.

Solmumenetelmässä haarojen virrat kirjoitetaan solmujen jännitteiden avulla. Keskinäisinduktanssien tapauksessa on helpompi kirjoittaa haarojen jännitteet niiden virtojen avulla. Matriiseilla esitettynä saadaan:

${\begin{bmatrix}U_{1}-U_{2}\\U_{3}-U_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{1}&M_{1,2}\\M_{1,2}&Z_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1,2}\\I_{3,4}\end{bmatrix}}$

Kun tämä ratkaistaan virtojen suhteen saadaan:

${\begin{bmatrix}I_{1,2}\\I_{3,4}\end{bmatrix}}={\frac {1}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}{\begin{bmatrix}Z_{2}&-M_{1,2}\\-M_{1,2}&Z_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}-U_{2}\\U_{3}-U_{4}\end{bmatrix}}$

Solmusta 1 admittanssiin $Y_{1}$ menevä virta on siten kirjoitettavissa solmujännitteiden $U_{1}...U_{4}$ avulla.

$I_{1,2}={\frac {Z_{2}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{1}-{\frac {Z_{2}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{2}-{\frac {M_{1,2}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{3}+{\frac {M_{1,2}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{4}$

Vastaavasti solmuun 4 menevä virta on:

$I_{4,3}=-I_{3,4}={\frac {M_{1,2}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{1}-{\frac {M_{1,2}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{2}-{\frac {Z_{1}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{3}+{\frac {Z_{1}}{Z_{1}Z_{2}-M_{1,2}^{2}}}U_{4}$

Mikäli keskinäisinduktanssia on esimerkiksi kolmen haaran välillä tulee jo melko hankalia kaavoja admittanssien tilalle. Tällaisessa tapauksessa silmukkamenetelmä saattaa olla helpompi tapa ratkaista virrat ja jännitteet.

Ohjattujen lähteiden käsittely

Solmumenetelmässä ohjatut lähteet muunnetaan jänniteohjatuiksi virtalähteiksi. Jänniteohjatun virtalähteen käsittelystä on jäljempänä yksinkertainen esimerkki.

Yhtälöiden ratkaiseminen

Solmujen jännitteet voidaan ratkaista jollain lineaarialgebran menetelmällä, esimerkiksi Gaussin algoritmillä.

Matriiseilla laskettaessa saadaan pienissä verkoissa potentiaalit riittävällä tarkuudella suoraan admittanssimatriisin käänteismatriisin avulla. Tämä voidaan laskea jollain matriisilaskentaan soveltuvalla tietokoneohjelmalla, kuten Octavella.

$\mathbf {U} =inv(\mathbf {Y} )\mathbf {J}$

Esimerkit

Yksinkertainen tasasähköverkko

Esimerkki tasasähköpiiristä

Oletetaan seuraava yksinkertainen tasasähköverkko. Koska kysymyksessä on tasasähköverkko merkitään haarojen johtavuudet $Y_{i}$ konduktansseilla $G_{i}$.

Verkko koostuu neljästä solmusta ja niitä yhdistää neljä konduktanssia. Kuvassa on valittu kantasolmuksi solmupiste 0. Sen potentiaaliksi asetetaan nolla ja tässä se on merkitty maadoitetuksi. Verkko sisältää kolme ideaalista virtalähdettä $J_{1}$, $J_{2}$ ja $J_{3}$. Kuvaan on merkitty niiden virtojen suunnat.

Kirjoitetaan yhtälöt solmuille 1,2 ja 3.

Solmu 1:

$J_{1}-J_{2}=(G_{1}+G_{2})U_{1}-G_{2}U_{2}$

Solmu 2:

$J_{2}+J_{3}=-G_{2}U_{1}+(G_{2}+G_{3})U_{2}-G_{3}U_{3}$

Solmu 3:

$-J_{3}=-G_{3}U_{2}+(G_{3}+G_{4})U_{3}$

Kirjoitetaan nämä vielä matriisimuodossa:

${\begin{bmatrix}J_{1}-J_{2}\\J_{2}+J_{3}\\-J_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}G_{1}+G_{2}&-G_{2}&0\\-G2&G_{2}+G_{3}&-G_{3}\\0&-G_{3}&G_{3}+G_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\\U_{3}\end{bmatrix}}$

Tuntemattomat jännitteet on näistä helppo laskea tavanomaisin menetelmin kun lähdevirrat ja konduktanssit tunnetaan. Muodollisesti matriisiyhtälön ratkaisu voidaan kirjoittaa konduktanssimatriisin käänteismatriisin avulla.

${\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\\U_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}G_{1}+G_{2}&-G_{2}&0\\-G2&G_{2}+G_{3}&-G_{3}\\0&-G_{3}&G_{3}+G_{4}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}J_{1}-J_{2}\\J_{2}+J_{3}\\-J_{3}\end{bmatrix}}$

Vaihtosähköverkko, joka sisältää keskinäisinduktanssia

Esimerkki keskinäisinduktanssia sisältävästä piiristä.

Oheisen kuvan mukaan admitanssien $Y_{2}$ ja $Y_{3}$ välillä on keskinäisinduktanssi $M_{2,3}$. Koska kaavat on mukavampi kirjoittaa impedansseina, merkitään $Z_{2}={\frac {1}{Y_{2}}}$ ja $Z_{3}={\frac {1}{Y_{3}}}$. Kirjoitetaan yhtälöt keskinäisinduktanssia sisältäville haaroille.

${\begin{bmatrix}U_{1}-U_{2}\\U_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{2}&M_{2,3}\\M_{2,3}&Z_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1,2}\\I_{2,0}\end{bmatrix}}$

Lasketaan virrat edellisestä.

${\begin{bmatrix}I_{1,2}\\I_{2,0}\end{bmatrix}}={\frac {1}{Z_{2}Z_{3}-M_{2,3}^{2}}}{\begin{bmatrix}Z_{3}&-M_{2,3}\\-M_{2,3}&Z_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}-U_{2}\\U_{2}\end{bmatrix}}$

Merkitään $k^{2}={\frac {1}{Z_{2}Z_{3}-M_{2,3}^{2}}}$. Kirjoitetaan vielä virrat erikseen.

$I_{1,2}=k^{2}Z_{3}U_{1}-k^{2}(Z_{3}+M_{2,3})U_{2}$

$I_{2,0}=-k^{2}M_{2,3}U_{1}+k^{2}(M_{2,3}+Z_{2})U_{2}$

Muodostetaan sitten lopulta verkon yhtälö.

${\begin{bmatrix}J_{1}\\J_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{1}+k^{2}Z_{3}&-k^{2}(Z_{3}+M_{2,3})\\-k^{2}(Z_{3}+M_{2,3})&k^{2}(2M_{2,3}+Z_{2}+Z_{3})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}$

Ohjatun lähteen käsittely

Esimerkki jänniteohjatun virtalähteen sisältävästä piiristä.

Kuvassa on yksinkertainen esimerkki, jossa on jänniteohjattu virtalähde $J_{2}$. Kirjoitetaan solmujen $1$ ja $2$ yhtälöt.

solmu $1$:

$J1=(Y_{1}+Y_{2})U_{1}-Y_{2}U_{2}$

solmu $2$:

$-gU_{1}=-Y_{2}U_{1}+(Y_{2}+Y_{3})U_{2}$

Koska virtalähde $J_{2}$ sisältää tuntemattoman solmujännitteen $U_{1}$, niin siirretään se yhtälön oikealle puolelle.

$0=(g-Y_{2})U_{1}+(Y_{2}+Y_{3})U_{2}$

Näin saadaan lopullinen yhtälöryhmä, joka on matriisimuodossa:

${\begin{bmatrix}J_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{1}+Y_{2}&-Y_{2}\\g-Y_{2}&Y_{2}+Y_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}\\U_{2}\end{bmatrix}}$

Tästä tuntemattomat solmujännitteet on ratkaistavissa, koska $g$:n oletetaan olevan tunnettu.

Menetelmän käyttö

Solmumenetelmä on vain yksi piirianalyysin menetelmistä. Esimerkiksi silmukkamenetelmään nähden se on edullinen, jos se johtaa pienempään yhtälöiden määrään kuin silmukkamenetelmä. Jos taas verkko sisältää keskinäisinduktansseja on silmukkamenetelmä yleensä käyttökelpoisempi.

Solmumenetelmän sanotaan olevan myös helpompi koodata tietokoneelle, kuin silmukkamenetelmä. Sen vuoksi useimmat piirianalyysiohjelmat perustuvat solmumenetelmään.

Lähteet

• Silvonen Kimmo: Sähkötekniikka ja elektroniikka, s. 53–62. Espoo: Otatieto, 2003. ISBN 951-672-335-7
• Voipio Erkki, Porra Veikko: ”Piirianalyysi”, Tekniikan käsikirja 3, s. 68–84. Jyväskylä: Gummerus Oy, 1969.
• Martti Valtonen & Anu Lehtovuori: Piirianalyysi osa 1: tasa- ja vaihtovirtapiirien analyysi. Helsinki: Unigrafia Oy, 2011. ISBN 978-952-92-8720-8
• Vesa Linja-aho: Sähkötekniikan ja elektroniikan harjoituskirja korkeakouluille. Avoimet oppimateriaalit ry, 2014. ISBN 978-952-7010-04-4
• Nigel P. Cook: Introductory DC/AC Circuits. (Sixth Edition) Pearson Prentice Hall, 2005. ISBN 0-13-114006-X (englanniksi)
• Charles K. Alexander & Matthew N. O. Sadiku: Fundamentals of Electric Circuits. (Seventh Edition) McGraw-Hill Education, 2021. ISBN 978-1-260-57079-3 (englanniksi)