Solmumenetelmä

Solmumenetelmä

Solmumenetelmä on eräs sähköisten virtapiirien ja verkkojen ratkaisuun liittyvä systemaattinen menetelmä. Tavoitteena on laskea verkon solmupisteiden jännitteet, kun verkon lähdesuureet ja komponentit tunnetaan.

Verkon rakenne ja komponentitMuokkaa

Verkko koostuu solmupisteistä ja niitä yhdistävistä haaroista. Solmuksi sanotaan jokaista verkon pistettä, jossa kaksi tai useampia komponentteja kytkeytyy yhteen. Varsinaisiksi solmupisteiksi laskentaa varten kannattaa ottaa vain ne solmut, joissa yhdistyy kolme tai useampia haaroja. Jos jossain verkon haarassa on useita komponentteja sarjassa ne voidaan yhdistää yhdeksi komponentiksi. Tällöin jokainen haara sisältää vain yhden komponentin.

Verkko voi koostua tavanomaisista passiivisista sähköisistä komponenteista kuten vastuksista, keloista ja kondensaattoreista sekä aktiivisista virta- ja jännitelähteistä. Solmumenetelmää voidaan käyttää sekä tasa- että vaihtosähköverkoissa. Verkko voi sisältää myös ohjattuja virta- ja jännitelähteitä.

Solmumenetelmässä passiiviset komponentit esitetään tavallisesti admittansseina tai konduktansseina ja aktiiviset komponentit virtalähteinä. Verkon sisältämät jännitelähteet muunnetaan virtalähteiksi. Verkko voi sisältää myös muuntajia tai yleensäkin keskinäisinduktansseja. Tällöin kuitenkin saattaa olla luontevampaa käyttää silmukkamenetelmää[1].

Verkon yhtälöiden kirjoittaminenMuokkaa

Solmumenetelmässä ratkaistaan verkon solmupisteiden jännitteet johonkin valittuun kantasolmuun nähden. Kantasolmun potentiaali voidaan valita vapaasti ja tavallisesti se asetetaan nollaksi, joten se oletetaan ikäänkuin maadoitetuksi. Kantasolmun valinta voidaan tehdä vapaasti. Verkosta riippuen voi kuitenkin olla edullista valita joku määrätty solmu kantasolmuksi. Esimerkiksi verkon piste, joka jo on maadoitettu.

Kun kantasolmu on valittu ja muut solmut numeroitu, niin muodostetaan jokaiselle solmulle (paitsi kantasolmulle) Kirchhoffin virtalakiin perustuva yhtälö:

 

Toisin sanoen solmuun tulevien virtojen summa on nolla. Käytännössä solmun yhtälön toiselle puolelle kirjoitetaan solmuun tulevien tunnettujen lähdevirtojen summa ja toiselle puolelle solmusta lähtevien haarojen toistaiseksi tuntemattomat virrat.

 

Haarojen virrat lasketaan solmujen tuntemattomien jännitteiden avulla ohmin lain mukaan. Esimerkiksi virta solmusta   solmuun   lasketaan:

 

Tässä   on solmuja   ja   yhdistävän haaran admittanssi,   on solmun   jännite,   on solmun   jännite ja   on haaran virta solmusta   solmuun  . Kun lasketaan kaikki solmuun   tulevat lähdevirrat ja siitä poistuvat haarojen virrat saadaan solmun   yhtälöksi:

 

Ryhmittelemällä oikea puoli uudestaan saadaan.

 

Kun kaikille solmuille on kirjoitettu ylläolevan muotoiset yhtälöt, niin saadaan lineaarinen yhtälöryhmä. Siinä tuntemattomia ovat solmupisteiden jännitteet ja tunnettuja lähdevirrat ja komponenttien arvot. Yhtälöiden lukumäärä on sama kuin solmujen tuntemattomien jännitteiden lukumäärä. Näin ollen solmujen jännitteet on laskettavissa yhtälöryhmästä.

Kirjoitetaan vielä yhtälöt kaikille solmuille:

 

 

 

 

 

Yhtälöissä on huomattava, että useimmat admittanssit ovat nollia, koska solmuilla ei tavallisesti ole välitöntä yhteyttä kaikkiin muihin solmuihin. Ainoastaan naapurisolmuihin kytkeytyvät admittanssit huomioidaan.

Verkon yhtälöt matriiseilla esitettynäMuokkaa

Edellä oleva yhtälöryhmä voidaan esittää myös matriisiyhtälönä.

 

Yhdistämällä admittanssimatriisin diagonaalilla olevat haarojen admittanssit yhtälö voidaan vielä kirjoittaa yleisemmässä muodossa.

 

Tässä admittanssimatriisin diagonaalilla oleva admittanssi   on solmuun   yhdistyvien haarojen admittanssien summa. Admittanssi   on solmujen   ja   välisen haaran admittanssi. Admittanssimatriisi onkin kirjoitettavissa suoraan sijoittamalla diagonaalille naapurisolmuihin yhdistyvien admittanssien summat ja muihin kohtiin niiden admittanssit negatiivisina. Tässä on huomioitava, että solmujen jännitteet on otettu kaikki solmuista kantasolmuun päin. Jos jännitteiden suuntia muutetaan, niin muuttuvat myös admittanssien etumerkit.

Matriisiyhtälö on kirjoitettavissa vielä muodollisesti seuraavasti.

 

Siinä   on solmuihin tulevien tunnettujen lähdevirtojen muodostama pystyvektori,   on verkon haarojen tunnetuista admittansseista muodostettu matriisi ja   on solmujen tuntemattomista jännitteistä muodostettu pystyvektori.

Keskinäisinduktanssin huomioon ottaminenMuokkaa

 
Keskinäisinduktanssin laskeminen

Mikäli vaihtovirtaverkossa haarojen välillä on keskinäisinduktanssia on se otettava erikseen huomioon. Oheisessa kuvassa on kaksi haaraa, joiden välillä on keskinäisinduktanssi  . Haarojen admittanssit ja vastaavat impedanssit on merkitty kuvaan.

Solmumenetelmässä haarojen virrat kirjoitetaan solmujen jännitteiden avulla. Keskinäisinduktanssien tapauksessa on helpompi kirjoittaa haarojen jännitteet niiden virtojen avulla. Matriiseilla esitettynä saadaan:

 

Kun tämä ratkaistaan virtojen suhteen saadaan:

 

Solmusta 1 admittanssiin   menevä virta on siten kirjoitettavissa solmujännitteiden   avulla.

 

Vastaavasti solmuun 4 menevä virta on:

 

Mikäli keskinäisinduktanssia on esimerkiksi kolmen haaran välillä tulee jo melko hankalia kaavoja admittanssien tilalle. Tällaisessa tapauksessa silmukkamenetelmä saattaa olla helpompi tapa ratkaista virrat ja jännitteet.

Ohjattujen lähteiden käsittelyMuokkaa

Solmumenetelmässä ohjatut lähteet muunnetaan jänniteohjatuiksi virtalähteiksi[2]. Jänniteohjatun virtalähteen käsittelystä on jäljempänä yksinkertainen esimerkki.

Yhtälöiden ratkaiseminenMuokkaa

Solmujen jännitteet voidaan ratkaista jollain lineaarialgebran menetelmällä, esimerkiksi Gaussin algoritmillä.

Matriiseilla laskettaessa saadaan pienissä verkoissa potentiaalit riittävällä tarkuudella suoraan admittanssimatriisin käänteismatriisin avulla. Tämä voidaan laskea jollain matriisilaskentaan soveltuvalla tietokoneohjelmalla, kuten Octavella.

 

EsimerkitMuokkaa

Yksinkertainen tasasähköverkkoMuokkaa

 
Esimerkki tasasähköverkosta

Oletetaan seuraava yksinkertainen tasasähköverkko. Koska kysymyksessä on tasasähköverkko merkitään haarojen johtavuudet   konduktansseilla  .

Verkko koostuu neljästä solmusta ja niitä yhdistää neljä konduktanssia. Kuvassa on valittu kantasolmuksi solmupiste 0. Sen potentiaaliksi asetetaan nolla ja tässä se on merkitty maadoitetuksi. Verkko sisältää kolme ideaalista virtalähdettä  ,   ja  . Kuvaan on merkitty niiden virtojen suunnat.

Kirjoitetaan yhtälöt solmuille 1,2 ja 3.

Solmu 1:

 

Solmu 2:

 

Solmu 3:

 

Kirjoitetaan nämä vielä matriisimuodossa:

 

Tuntemattomat jännitteet on näistä helppo laskea tavanomaisin menetelmin kun lähdevirrat ja konduktanssit tunnetaan. Muodollisesti matriisiyhtälön ratkaisu voidaan kirjoittaa konduktanssimatriisin käänteismatriisin avulla.

 

Vaihtosähköverkko, joka sisältää keskinäisinduktanssiaMuokkaa

 
Esimerkki keskinäisinduktanssia sisältävästä verkosta.

Oheisen kuvan mukaan admitanssien   ja   välillä on keskinäisinduktanssi  . Koska kaavat on mukavampi kirjoittaa impedansseina, merkitään   ja  . Kirjoitetaan yhtälöt keskinäisinduktanssia sisältäville haaroille.

 

Lasketaan virrat edellisestä.

 

Merkitään  . Kirjoitetaan vielä virrat erikseen.

 

 

Muodostetaan sitten lopulta verkon yhtälö.

 

Ohjatun lähteen käsittelyMuokkaa

 
Esimerkki jänniteohjatun virtalähteen sisältävästä verkosta.

Kuvassa on yksinkertainen esimerkki, jossa on jänniteohjattu virtalähde  . Kirjoitetaan solmujen   ja   yhtälöt.

solmu  :

 

solmu  :

 

Koska virtalähde   sisältää tuntemattoman solmujännitteen  , niin siirretään se yhtälön oikealle puolelle.

 

Näin saadaan lopullinen yhtälöryhmä, joka on matriisimuodossa:

 

Tästä tuntemattomat solmujännitteet on ratkaistavissa, koska  :n oletetaan olevan tunnettu.

Menetelmän käyttöMuokkaa

Solmumenetelmä on vain yksi piirianalyysin menetelmistä. Esimerkiksi silmukkamenetelmään nähden se on edullinen, jos se johtaa pienempään yhtälöiden määrään kuin silmukkamenetelmä. Jos taas verkko sisältää keskinäisinduktansseja on silmukkamenetelmä yleensä käyttökelpoisempi[3].

Solmumenetelmän sanotaan olevan myös helpompi koodata tietokoneelle, kuin silmukkamenetelmä. Sen vuoksi useimmat piirianalyysiohjelmat perustuvat solmumenetelmään.[4]

LähteetMuokkaa

Silvonen Kimmo: Sähkötekniikka ja elektroniikka, s. 53–62. Espoo: Otatieto, 2003. ISBN 951-672-335-7.

Voipio Erkki, Porra Veikko: ”Piirianalyysi”, Tekniikan käsikirja 3, s. 68–84. Gummerus Oy, Jyväskylä 1969: .

ViitteetMuokkaa

  1. Voipio Erkki, Porra Veikko: ”Piirianalyysi”, Tekniikan käsikirja 3, s. 76. Gummerus Oy, Jyväskylä 1969: .
  2. Silvonen Kimmo: Sähkötekniikka ja elektroniikka, s. 61. Hakapaino Oy, Helsinki: Otatieto, 2003. ISBN 951-672-335-7.
  3. Voipio Erkki, Porra Veikko: ”Piirianalyysi”, Tekniikan käsikirja 3, s. 76. Gummerus Oy, Jyväskylä 1969: .
  4. Silvonen Kimmo: Sähkötekniikka ja elektroniikka, s. 61. Hakapaino Oy, Helsinki: Otatieto, 2003. ISBN 951-672-335-7.