Permutaatiomatriisi

Permutaatiomatriisi on matematiikan matriisiteoriassa eliöllinen yksikkömatriisi, jolla on täsmälleen yksi johtava alkio 1 jokaisella rivillä ja sarakkeessa ja kaikkialla muualla 0. Jokainen sellainen matriisi esittää tiettyä permutaatiota, jossa on m alkiota ja kerrottaessa toisella matriisilla, se voi tuottaa uuden matriisin, jolla on toisen matriisin rivit ja sarakkeet.

Matriisit kuvaavat 3 alkion permutaatioita
Kahden permutaatiomatriisin matriisitulo on myös permutaatiomatriisi. ( Englanniksi matriisitulosta ).

Nämä ovat kuuden matriisin asemat:

(Ne ovat myös permutaatiomatriiseja.)

Määritelmä

Annettu "m":n alkion permutaatio π ,

$\pi :\lbrace 1,\ldots ,m\rbrace \to \lbrace 1,\ldots ,m\rbrace$

annettu kahden rivin muodossa

${\begin{pmatrix}1&2&\cdots &m\\\pi (1)&\pi (2)&\cdots &\pi (m)\end{pmatrix}},$

sen permutaatiomatriisi on m × m matriisi P_π, jonka johtavat alkiot ovate kaikkialla 0, paitsi rivillä i, johtava alkio π(i) on 1. Voidaan kirjoittaa

$P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (m)}\end{bmatrix}},$

jossa $\mathbf {e} _{j}$ merkitsee rivivektorin pituutta "m", jolla on 1 js asemassa ja 0 kaikkialla muualla.

Ominaisuudet

Annetut kaiksi permutaatiota π ja σ, joilla on "m" alkiota ja vastaavat permutaatiomatriisit

Pπ ja Pσ 

$P_{\sigma }P_{\pi }=P_{\pi \,\circ \,\sigma }$

Tämä jollain tapaa epätoivottu sääntö on seurausta permutaatioiden kertolaskun määritelmästä (bijektioiden rakenne) ja matriiseista ja valinnasta käyttää vektoreita $\mathbf {e} _{\pi (i)}$ permutaatiomatriisien riveinä; jos käytetään sarakkeita niin yllä olevasta tulosta tulee $P_{\sigma \,\circ \,\pi }$, joke on yhtäsuuri alkuperäisessä järjestyksessä olevien permutaatioiden kanssa.

Koska permutaatiomatriisit ovat ortogonaalisia matriiseja (ts., $P_{\pi }P_{\pi }^{T}=I$), käänteismatriisit ovat olemassa ja voidaan kirjoittaa

$P_{\pi }^{-1}=P_{\pi ^{-1}}=P_{\pi }^{T}.$

Kertomalla $P_{\pi }$ kertaa sarakevektorilla (englanniksi column vector) g voidaan permutoidan vektorin rivit:

$P_{\pi }\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (n)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\\vdots \\g_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{\pi (1)}\\g_{\pi (2)}\\\vdots \\g_{\pi (n)}\end{bmatrix}}.$

Käyttämällä $P_{\sigma }$ sen jälkeen kun $P_{\pi }$ on käytetty, saadaan sama tulos kuin käyttämällä suoraan $P_{\pi \circ \sigma }$

yhtäpitävästi yllä olevan kertolaskusäännön kanssa: merkitään $P_{\pi }\mathbf {g} =\mathbf {g} '$, toisin sanoen

$g'_{i}=g_{\pi (i)}\,$

kaikilla i, siten

$P_{\sigma }(P_{\pi }(\mathbf {g} ))=P_{\sigma }(\mathbf {g} ')={\begin{bmatrix}g'_{\sigma (1)}\\g'_{\sigma (2)}\\\vdots \\g'_{\sigma (n)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{\pi (\sigma (1))}\\g_{\pi (\sigma (2))}\\\vdots \\g_{\pi (\sigma (n))}\end{bmatrix}}.$

Kertomalla rivivektoria (englanniksi row vector) h kertaa $P_{\pi }$

permutoi vektorin sarakkeet käänteis $P_{\pi }$:

$\mathbf {h} P_{\pi }={\begin{bmatrix}h_{1}\;h_{2}\;\dots \;h_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (n)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{\pi ^{-1}(1)}\;h_{\pi ^{-1}(2)}\;\dots \;h_{\pi ^{-1}(n)}\end{bmatrix}}$

Jälleen voidaan tarkistaa, että $(\mathbf {h} P_{\sigma })P_{\pi }=\mathbf {h} P_{\pi \circ \sigma }$.

Notes

Merkitään S_n:lla symmetristä ryhmää (engl. symmetric group), tai permutaatioiden ryhmää {1,2,...,n}. Koska nyt on n! permutaatioita, on olemassa n! permutaatiomatriiseja. Yllä olevien kaavojen perusteella n × n permutaatiomatriisit muodostavat ryhmän (engl. group) yksikkömatriisin kertolaskulla.

Jos (1) viittaa identiteetti permutaatioon (yksikkö permutaatio), niin P₍₁₎ on yksikkömatriisi.

Permutaatiomatriisia voidaan tarkastella σ:n permutaationa, kun permutaatio σ on yksikkömatriisin "I" sarakkeina tai "I":n rivien permutaatioina σ⁻¹.

Permutaatiomatriisi on stokastinen neliömatriisi.

Tulo "PM" saadaan kertomalla matriisia "M" permutaatiomatriisilla "P", permutoimalla "M"n rivit "i" liikkuvat riveiksi π(i). Päinvastoin tulo MP permutoi M:n sarakkeita.

Kuvaus S_n → A ⊂ GL(n, Z₂). Siten, |A| = n!.

Permutaatiomatriisin jälki permutaation kiinnitettyjen pisteiden lukumäärä. Jos permutaatiolla on kiinteitä pisteitä, niin se voidaan kirjoittaa rengasmuodossa kuten π = (a₁)(a₂)...(a_k)σ where σ jos sillä ei ole kiinteitä pisteitä, silloin voidaan kirjoittaa e_a1,e_a2,...,e_ak jotka ovat permutaatiomatriisin ominaisarvot.

Ryhmäteorian pohjalta tiedetään että mikä tahansa permutaatio voidaan kirjoittaa transpoosin tulona. Sen tähden minkä tahansa permutaatiomatriisin "P" tekijät saadaan Alkeismatriisin rivitoimituksilla, jossa jokaisella on determinantti -1. Siten permutaatiomatriisin "P" determinatti on vastaavan permutaation merkki.

Esimerkkejä

Rivien ja sarakkeiden permutaatiot

Kun permutaatiomatriisia "P" kerrotaan matriisilla "M" vasemmalta "PM" permutoi "M":n rivit (sarakevektorin alkioilla), kun "P" kerrotaan "M":llä oikealta "MP" permutoi "M":n sarakkeet (rivivektorin alkiot):

P * (1,2,3,4)T = (4,1,3,2)T

(1,2,3,4) * P = (2,4,3,1)

Rivien ja sarakkeiden permutaatiot ovat esimerkkejä peilauksesta (katso alla) ja syklisistä permutaatioista (engl. cyclic permutation matrix).

reflections
(1,2,3,4) * PT = (4,1,3,2) PT * (1,2,3,4)T = (2,4,3,1)T Nämä matriisien järjestelyt ovat peilauksia yllä olevista. Tämä on seurausta säännöstä $\left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,$      (Compare: Transpose)

Rivien permutaatio

PErmutaatiomatriisi P_π vastaa permutaatiota :$\pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}},$ joten

$P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\mathbf {e} _{\pi (3)}\\\mathbf {e} _{\pi (4)}\\\mathbf {e} _{\pi (5)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{4}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{5}\\\mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\end{bmatrix}}.$

Annetulle vektorille g,

$P_{\pi }\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\mathbf {e} _{\pi (3)}\\\mathbf {e} _{\pi (4)}\\\mathbf {e} _{\pi (5)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\\g_{4}\\g_{5}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{4}\\g_{2}\\g_{5}\\g_{3}\end{bmatrix}}.$

Selitys

Permutaatiomatriisi on aina muotoa

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{a_{1}}\\\mathbf {e} _{a_{2}}\\\vdots \\\mathbf {e} _{a_{j}}\\\end{bmatrix}}$

jossa e_ai esittää i:ttä basis alkeisvektoria (kuten riviä) R:lle '^j, missä

${\begin{bmatrix}1&2&\ldots &j\\a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\end{bmatrix}}$

on permutaatio muoto permutaatiomatriisista.

Suorittamalla matriisikertolaskun, erityisesti muodostamalla pistetulo ensimmäisen matriisin jokaisen rivin toisen matriisin jokaisen sarakkeen kanssa. Tässä esimerkissä muodostetaan pistetulo jokaisen tämän matriisin rivin ja halutun vektorin alkioiden välille. Joka on esimerkiksi v= (g₀,...,g₅)^T,

e_ai·v=g_ai

Siten permutaatiomatriisin tulo vektorin v kanssa (yllä), muodostaa vektorin muotoa (g_a1, g_a2, ..., g_aj), ja tämä on siten v:n permutaatio kun sanotaan, että permutaatio on muotoa

${\begin{pmatrix}1&2&\ldots &j\\a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{j}\end{pmatrix}}.$

Siten permutaatiomatriisit itse asiassa permutoivat vektorin alkioiden järjestyksessä kerrottaessa permutaatiomatriisit niillä.

Lähteet

• Brualdi, Richard A.: Combinatorial matrix classes. 108 Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2006. ISBN 0-521-86565-4