Oleellinen supremum ja oleellinen infimum

Mittateoriassa ja funktionaalianalyysissä, oleellinen supremum ja oleellinen infimum ovat supremumin ja infimumin käsitteiden yleistyksiä mitallisille funktioille ja joukoille. Ideana on määritellä funktion oleellinen yläraja siten, että se pätee melkein kaikkialla. Toisin sanottuna, niiden pisteiden joukko, joiden kuva on suurempi kuin oleellinen yläraja, on nollamittainen.

Intuitiivisesti, funktion oleellinen infimum on pienin arvo, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin funktion arvot kaikkialla, kun funktion arvot nollamittaisilla joukoilla jätetään huomiotta. Otetaan esimerkiksi funktio $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, jonka arvo on nolla kaikkialla paitsi määrittelyjoukon pisteen nolla kohdalla, jossa määritellään $f(0)=1$. Funktion supremum on tällöin yksi. Sen oleellinen supremum on kuitenkin nolla, koska yhden pisteen muodostama joukko on nollamittainen. Oleellinen infimum määritellään samankaltaisesti.

Määritelmä

Kuten mittateoriassa yleensä, määritelmä perustuu tiettyjen mitallisten joukkojen alkukuviin.

Olkoon $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ funktio joukosta $X$ reaalilukujen joukkoon. Reaaliluku $a$ on funktion $f$ yläraja, jos kaikille joukon $X$ alkioille $x$ pätee $f(x)\leq a$, eli toisin sanottuna jos

$f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}$

on tyhjä . Määritellään funktion $f$ ylärajojen joukko seuraavasti:

$U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\varnothing \}.\,$

Tällöin funktion supremum määritellään

$\sup f=\inf {U_{f}},\,$

jos joukko $U_{f}$ ei ole tyhjä, ja $\sup f=+\infty$ jos $U_{f}$ on tyhjä.

Vaihtoehtoisesti, supremum on sellainen reaaliluku $\sup f$, jolle pätee: jos $a\in \mathbb {R}$ siten että$f(x)\leq a$ kaikille $x\in X$, niin sitten $\sup f\leq a$.

Oletetaan nyt lisäksi, että $(X,\Sigma ;\mu )$ on mitta-avaruus, ja että funktio $f$ on mitallinen. Reaaliluku $a$ on funktion $f$ oleellinen yläraja, jos joukko $f^{-1}(a,\infty )$ on nollamittainen, eli jos melkein kaikille joukon $X$ alkioille $x$ pätee $f(x)\leq a$. Määritellään funktion $f$ oleellisten ylärajojen joukko seuraavasti:

$U_{f}^{\operatorname {ess} }=\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}.\,$

Tällöin oleellinen supremum määritellään (supremumin lailla)

$\operatorname {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }\,$

jos $U_{f}^{\operatorname {ess} }\neq \varnothing$ ja muuten $\operatorname {ess} \sup f=+\infty$.

Vaihtoehtoisesti, oleellinen supremum on sellainen reaaliluku $\operatorname {ess} \sup f$, jolle pätee: jos $a\in \mathbb {R}$ siten että $f(x)\leq a$ melkein kaikille $x\in X$, niin sitten $\operatorname {ess} \sup f\leq a$.

Oleellinen infimum määritellään täysin vastaavasti oleellisten alarajojen supremumina:

$\operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}\,$

jos oleellisten alarajojen joukko ei ole tyhjä, ja muuten $\operatorname {ess} \inf f=-\infty$.

Lebesgue-mitalliselle joukolle

Olkoon $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} },m)$ Lebesguen mitan mitta-avaruus. Lebesgue-mitallisen joukon $A\in {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }$ oleellinen supremum (infimum) määritellään inkluusiokuvauksen $A\hookrightarrow \mathbb {R}$ oleellisena supremumina (infimumina). Yksityiskohtaisesti, joukon $A$ oleellinen supremum on

$\operatorname {ess} \sup A=\inf\{\alpha \in \mathbb {R} \,|\,m(A\cap [\alpha ,\infty [)=0\}\,$

ja oleellinen infimum

$\operatorname {ess} \inf A=\sup\{\alpha \in \mathbb {R} \,|\,m(A\cap [\alpha ,\infty [)=0\}.\,$

Terminologiaa

Jos funktion tai joukon oleellinen supremum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti ylhäältä rajoitettu. Jos funktion tai joukon oleellinen infimum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti alhaalta rajoitettu. Jos funktion itseisarvon oleellinen supremum on äärellinen, sanotaan, että se on oleellisesti rajoitettu.^lähde?

Ominaisuuksia

• Jos $\mu (X)>0$, niin $\inf f\leq \operatorname {ess} \inf f\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \sup f$ . Jos $X$ on nollamittainen, niin $\operatorname {ess} \sup f=-\infty$ ja $\operatorname {ess} \inf f=+\infty$.
• $\operatorname {ess} \sup(fg)\leq (\operatorname {ess} \sup f)(\operatorname {ess} \sup g)$ aina kun molemmat oikeanpuoleiset termit eivät ole negatiivisia.

Katso myös

• Mittateoria
• Borel-joukko
• Supremum
• Infimum
• L ^p-avaruus

Lähteet

• PlanetMath, Essential supremum Viitattu 1.3.2021. (englanniksi)
• Dieudonné, J. Treatise on analysis. Volume II. Enlarged and corrected printing. Academic press. New York, San Francisco, London. 1976.

Aiheesta muualla

• Rowland, Todd. "Essential Supremum." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. https://mathworld.wolfram.com/EssentialSupremum.html. Luettu 1.3.2021. (englanniksi)