Topologisen avaruuden osajoukon kosketuspisteellä tarkoitetaan sellaista topologisen avaruuden pistettä , että kaikki :n ympäristöt sisältävät ainakin yhden :han kuuluvan pisteen. Formaalisti: ja siten, että kaikilla :n ympäristöillä pätee . Pisteen ei ole välttämätöntä kuulua :han.

Minkä tahansa osajoukon jokainen piste on samalla sen kosketuspiste, koska se kuuluu jokaiseen ympäristöönsä. Lisäksi joukon A kosketuspisteitä ovat kaikki joukon reunapisteet, jotka kuitenkin voivat joko kuulua tai olla kuulumatta A:han.

A:n kosketuspisteiden joukkoa sanotaan A:n sulkeumaksi:

Jokainen joukko on siis sulkeumansa osajoukko: . Jos joukon A kaikki kosketuspisteet kuuluvat A:han eli A on itsensä sulkeuma, A on suljettu joukko, .

Sulkeumaa A saatetaan merkitä myös muilla tavoin: cl(A), Cl(A) tai .

Esimerkkejä

muokkaa
  • Avoimen välin ]a,b[ kosketuspisteitä ovat kaikki välillä olevat pisteet sekä myös sen päätepisteet a ja b, vaikka ne eivät kuulu avoimeen väliin.
  • Cl ([0,1[) ∩ Cl (]1,2]) = [0,1] ∩ [1,2] = {1}
  • Cl ([0,1[ ∩ ]1,2]) = Cl ( ) =  .

Kasautumispiste

muokkaa

Joukon A kasautumispiste on piste x, jonka jokainen ympäristö sisältää x:n lisäksi jonkin muunkin A:han kuuluvan pisteen. Jokainen kasautumispiste on siis samalla kosketuspiste, mutta joukolla saattaa olla myös erakkopisteitä, jotka kuuluvat joukkoon ja ovat myös sen kosketuspisteitä, mutta eivät kasautumispisteitä.[1][2]

Lähteet

muokkaa
  • Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8.
  • Väisälä, Jussi: Topologia II, 2. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2005. ISBN 951-745-209-8.

Viitteet

muokkaa
  1. Väisälä 2012, 31
  2. Väisälä 2012, 51

Kirjallisuutta

muokkaa
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.