Kohomologia
 |
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan. |
Kohomologia tarkoittaa matematiikassa, erityisesti algebrallisessa topologiassa, Abelin ryhmien jonoja, joilla on ketjukompleksi. Siten kohomologia on näiden ketjujen abstraktia tutkimista. Kohomologia voidaan nähdä menetelmänä määrittää topologisten avaruuksien algebrallisia invariantteja, joilla on hienompi algebrallinen struktuuri kuin homologia antaa. Kohomologia esiintyy homologian konstruoinnin algebrallisena duaalina.
De Rhamin kohomologia muokkaa
Eräs kohomologian tärkeä sovellutus koskee kenttä- ja potentiaaliteoriaa. Sileät eri ulotteiset differentiaalimuodot muodostavat ketjukompleksin, jossa muotoavaruuksien välillä kuvaukset ovat ulkoderivaattoja. Vastaava homologiateoria koskee (sopivasti määriteltyjä) eri ulotteisia integrointialueita, joiden välillä puolestaan ovat niin sanotut reunahomomorfismit. Tärkeimpiä tuloksia on Georges de Rhamin muotoilema de Rhamin lause, jonka mukaan reaalikertoimiset de Rhamin kohomologiaryhmät ovat isomorfisia reaalikertoimisten singulaaristen homologiaryhmien kanssa. Kohomologiaryhmät liittyvät suljettuihin muotoihin, jotka eivät ole eksakteja (siis joita ei voi aivan esittää potentiaalin avulla), ja de Rhamin lause liittää tämä potentiaalien olemassaolon kannalta ratkaisevan kysymyksen muotojen määrittelyalueen (sileä monisto) topologisiin ominaisuuksiin.