Kannanvaihto

Kannanvaihto tarkoittaa lineaarialgebrassa siirtymistä vektoriavaruuden kannasta toiseen. Kannanvaihto muuttaa vektorien koordinaatteja ja lineaarikuvausten matriiseja. Kannanvaihdon hyödyllisyys tulee esille silloin, kun laskutoimitukset yksinkertaistuvat kannasta toiseen siirryttäessä.[1]

KannanvaihtomatriisiMuokkaa

Kannanvaihtomatriisi on yksikäsitteinen ja säännöllinen neliömatriisi, joka muuttaa vektorien koordinaatit vanhan kannan suhteen ilmaistuista koordinaateista uuden kannan mukaisiksi.

Kannanvaihtomatriisin määritelmäMuokkaa

Olkoot   ja   vektoriavaruuden V kaksi kantaa. Kannanvaihtomatriisi kannasta S kantaan T on nxn-matriisi, jonka sarakkeina on kannan S vektoreiden koordinaattivektorit kannan T suhteen ja josta käytetään merkintää M(T←S). Kaikille vektoriavaruuden V vektoreille   pätee  =M(T←S) , missä   on vektorin   koordinaattivektorin kannan T suhteen ja   vektorin   koordinaattivektorin kannan S suhteen.

Menetelmä kannanvaihtomatriisin määrittämiseksiMuokkaa

Kannanvaihtomatriisin M(T←S) saa määritettyä muuntamalla matriisin [M(E←T)|M(E←S)] redusoituun porrasmuotoon [In|A], missä   on vektoriavaruuden luonnollinen kanta. Tällöin A=M(T←S).

EsimerkkejäMuokkaa

Esimerkki 1Muokkaa

Olkoon   vektoriavaruuden R3 luonnollinen kanta ja olkoon   vektoriavaruuden R3 toinen kanta, jossa  ,   ja  . Tässä tapauksessa kannanvaihtomatriisi M(E←S) on helppo muodostaa, koska kannan S vektorien koordinaattivektorit kannan E suhteen ovat suoraan kannan S vektorit. Sama pätee aina luonnolliseen kantaan siirtyessä. Nyt siis

M(E←S)= .

Esimerkki 2Muokkaa

Olkoot   ja   vektoriavaruuden R2 kantoja, joille  ,  ,   ja  . Olkoon lisäksi  . Määritetään kannanvaihtomatriisi M(T←S) muuntamalla matriisi   redusoituun porrasmuotoon  . Tällöin M(T←S)= . Vektorin   koordinaattivektoriksi kannan S suhteen saadaan laskemalla  . Lasketaan vektorin   koordinaattivektori kannan T suhteen kannanvaihtomatriisin M(T←S) avulla. Saadaan

 =M(T←S) =  = .

LähteetMuokkaa

  1. Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 180–182. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

KirjallisuuttaMuokkaa

  • Bernard Kolman ja David R. Hill: Elementary Linear Algebra with Applications, Ninth Edition, Pearson Education, 2008.
  • David Poole: Linear Algebra - A Modern Introduction, Second Edition, Brooks/Cole, 2006.