Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmä

Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmä on menetelmä, jolla voidaan tehdä äärellinen jono sisätuloavaruuden V lineaarisesti riippumattomia vektoreita ortogonaalisiksi eli keskenään kohtisuoriksi siten että ortogonaalinen jono virittää V:n saman aliavaruuden kuin alkuperäinen jono. Toisin sanoen ortogonaalinen jono on saman aliavaruuden kanta kuin alkuperäinen jono. Ortogonaalisesta jonosta saadaan normittamalla ortonormaali.

Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmän kaksi ensimmäistä vaihetta.

Menetelmä on nimetty tanskalaisen Jørgen Pedersen Gramin ja saksalaisen Erhard Schmidtin mukaan.

Gramin–Schmidtin menetelmä

Olkoon ( w₁, ..., w_n ) vapaa, ääreellinen jono sisätuloavaruudessa V, n ≥ 1. Halutaan muodostaa ortonormaali jono ( u₁, ..., u_n ), jolle pätee span( w₁, ..., w_n ) = span( u₁, ..., u_n ) kaikilla k $\in$ { 1, ..., n } eli jonot ( w₁, ..., w_n ) ja ( u₁, ..., u_n ) virittävät V:n saman aliavaruuden. Toimitaan seuraavasti:

Valitaan ${\boldsymbol {v}}_{1}={\boldsymbol {w}}_{1}$.

${\boldsymbol {v}}_{2}={\boldsymbol {w}}_{2}-proj_{V_{1}}({\boldsymbol {w}}_{2})={\boldsymbol {w}}_{2}-{\dfrac {\langle {\boldsymbol {w}}_{2},{\boldsymbol {v}}_{1}\rangle }{{\Vert {\boldsymbol {v}}_{1}\Vert }^{2}}}\;{\boldsymbol {v}}_{1},$ missä V₁ on vektorin v₁ virittämä aliavaruus ja proj_V1(w₂) on vektorin w₂ kohtisuora projektio aliavaruudelle V₁. Merkintä $\langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\rangle$ tarkoittaa vektoreiden a ja b sisätuloa; $\langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\rangle \in \mathbf {R}$. Merkintä $\Vert {\boldsymbol {a}}\Vert$ tarkoittaa vektorin a normia; $\Vert {\boldsymbol {a}}\Vert ^{2}=\langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {a}}\rangle .$ Lisäksi huomataan, että sisätulon määritelmästä seuraa $\Vert {\boldsymbol {a}}\Vert \geq 0$ ja erityisesti pätee $\Vert {\boldsymbol {v}}_{1}\Vert =\Vert {\boldsymbol {w}}_{1}\Vert >0$, koska muutoin w₁ = 0, mikä ei ole mahdollista, koska jono ( w₁, ..., w_n ) on vapaa.

${\boldsymbol {v}}_{3}={\boldsymbol {w}}_{3}-proj_{V_{2}}({\boldsymbol {w}}_{3})={\boldsymbol {w}}_{3}-{\dfrac {\langle {\boldsymbol {w}}_{3},{\boldsymbol {v}}_{1}\rangle }{{\Vert {\boldsymbol {v}}_{1}\Vert }^{2}}}\;{\boldsymbol {v}}_{1}-{\dfrac {\langle {\boldsymbol {w}}_{3},{\boldsymbol {v}}_{2}\rangle }{{\Vert {\boldsymbol {v}}_{2}\Vert }^{2}}}\;{\boldsymbol {v}}_{2},$ missä V₂ on vektoreiden v₁ ja v₂ virittämä aliavaruus ja proj_V2(w₃) on vektorin w₃ kohtisuora projektio aliavaruudelle V₂.

$\vdots$

${\boldsymbol {v}}_{k}={\boldsymbol {w}}_{k}-\sum _{j=1}^{k-1}proj_{V_{k-1}}({\boldsymbol {w}}_{k}),$ missä V_k-1 on vektoreiden v₁, v₂, ..., v_k-1 virittämä aliavaruus ja proj_Vk-1(w_k) on vektorin w_k kohtisuora projektio aliavaruudelle V_k-1.

Näin muodostettu jono ( v₁, ..., v_n ) on ortogonaalinen. Ortonormaali jono ( u₁, ..., u_n ) saadaan normittamalla jono ( v₁, ..., v_n ):

$({\boldsymbol {u}}_{1},...,{\boldsymbol {u}}_{n})=\displaystyle {\biggl (}{\dfrac {{\boldsymbol {v}}_{1}}{\Vert {\boldsymbol {v}}_{1}\Vert }},...,{\dfrac {{\boldsymbol {v}}_{n}}{\Vert {\boldsymbol {v}}_{n}\Vert }}{\biggr )}.$

Esimerkki

Sisätuloavaruuden R³ (sisätulona pistetulo) eräs kanta on jono ( w₁, w₂, w₃ ), missä w₁ = [1 0 1]^T, w₂ = [0 1 2]^T ja w₃ = [1 -1 2]^T. Sovelletaan jonoon Gramin–Schmidtin menetelmää eli ortonormalisoidaan jono.

Valitaan

${\boldsymbol {v}}_{1}={\boldsymbol {w}}_{1}=[1\quad 0\quad 1]^{T},$

${\boldsymbol {v}}_{2}={\boldsymbol {w}}_{2}-{\dfrac {{\boldsymbol {w}}_{2}\cdot {\boldsymbol {v}}_{1}}{{\boldsymbol {v}}_{1}\cdot {\boldsymbol {v}}_{1}}}{\boldsymbol {v}}_{1}=[0\quad 1\quad 2]^{T}-[1\quad 0\quad 1]^{T}=[-1\quad 1\quad 1]^{T},$

${\boldsymbol {v}}_{3}={\boldsymbol {w}}_{3}-{\dfrac {{\boldsymbol {w}}_{3}\cdot {\boldsymbol {v}}_{1}}{{\boldsymbol {v}}_{1}\cdot {\boldsymbol {v}}_{1}}}{\boldsymbol {v}}_{1}-{\dfrac {{\boldsymbol {w}}_{3}\cdot {\boldsymbol {v}}_{2}}{{\boldsymbol {v}}_{2}\cdot {\boldsymbol {v}}_{2}}}{\boldsymbol {v}}_{2}=[1\quad -1\quad 2]^{T}-{\dfrac {3}{2}}[1\quad 0\quad 1]^{T}={\biggl [}-{\dfrac {1}{2}}\quad -1\quad {\dfrac {1}{2}}{\biggr ]}^{T}.$

Tarkistetaan: Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, mikäli niiden välinen pistetulo on nolla:

${\boldsymbol {v}}_{1}\cdot {\boldsymbol {v}}_{2}=[1\quad 0\quad 1]^{T}\cdot [-1\quad 1\quad 1]^{T}=1*(-1)+0*1+1*1=0,$

${\boldsymbol {v}}_{1}\cdot {\boldsymbol {v}}_{3}=[1\quad 0\quad 1]^{T}\cdot {\biggl [}-{\dfrac {1}{2}}\quad -1\quad {\dfrac {1}{2}}{\biggr ]}^{T}=1*{\biggl (}-{\dfrac {1}{2}}{\biggr )}+0*(-1)+1*{\dfrac {1}{2}}=0,$

${\boldsymbol {v}}_{2}\cdot {\boldsymbol {v}}_{3}=[-1\quad 1\quad 1]^{T}\cdot {\biggl [}-{\dfrac {1}{2}}\quad -1\quad {\dfrac {1}{2}}{\biggr ]}^{T}=(-1)*{\biggl (}-{\dfrac {1}{2}}{\biggr )}+1*(-1)+1*{\dfrac {1}{2}}=0.$

Normitetaan vielä:

${\boldsymbol {u}}_{1}={\dfrac {{\boldsymbol {v}}_{1}}{\Vert {\boldsymbol {v}}_{1}\Vert }}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;[1\quad 0\quad 1]^{T},$

${\boldsymbol {u}}_{2}={\dfrac {{\boldsymbol {v}}_{2}}{\Vert {\boldsymbol {v}}_{2}\Vert }}={\dfrac {1}{\sqrt {3}}}\;[-1\quad 1\quad 1]^{T}$ ja

${\boldsymbol {u}}_{3}={\dfrac {{\boldsymbol {v}}_{3}}{\Vert {\boldsymbol {v}}_{3}\Vert }}={\sqrt {\dfrac {2}{3}}}\;{\biggl [}-{\dfrac {1}{2}}\quad -1\quad {\frac {1}{2}}{\biggr ]}^{T}$.

Nyt jono (u₁, u₂, u₃ ) on ortonormaali jono ja span(u₁, u₂, u₃ ) = span(w₁, w₂, w₃ ).

Lähteet

• Honkasalo Hannu 2003: Lineaarialgebra I. Helsingin yliopisto. Matematiikan laitos.
• Pesonen Martti E. 2011: Lineaarialgebra. Itä-Suomen yliopisto. [1]

Aiheesta muualla

• [2]