Gramin–Schmidtin menetelmä
muokkaa
Olkoon ( w 1 , ..., w n ) vapaa, ääreellinen jono sisätuloavaruudessa V, n ≥ 1. Halutaan muodostaa ortonormaali jono ( u 1 , ..., u n ), jolle pätee span( w 1 , ..., w n ) = span( u 1 , ..., u n ) kaikilla k
∈
{\displaystyle \in }
{ 1, ..., n } eli jonot ( w 1 , ..., w n ) ja ( u 1 , ..., u n ) virittävät V:n saman aliavaruuden. Toimitaan seuraavasti:
Valitaan
v
1
=
w
1
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}={\boldsymbol {w}}_{1}}
.
v
2
=
w
2
−
p
r
o
j
V
1
(
w
2
)
=
w
2
−
⟨
w
2
,
v
1
⟩
‖
v
1
‖
2
v
1
,
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{2}={\boldsymbol {w}}_{2}-proj_{V_{1}}({\boldsymbol {w}}_{2})={\boldsymbol {w}}_{2}-{\dfrac {\langle {\boldsymbol {w}}_{2},{\boldsymbol {v}}_{1}\rangle }{{\Vert {\boldsymbol {v}}_{1}\Vert }^{2}}}\;{\boldsymbol {v}}_{1},}
missä V1 on vektorin v 1 virittämä aliavaruus ja projV1 (w 2 ) on vektorin w 2 kohtisuora projektio aliavaruudelle V1 . Merkintä
⟨
a
,
b
⟩
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\rangle }
tarkoittaa vektoreiden a ja b sisätuloa ;
⟨
a
,
b
⟩
∈
R
{\displaystyle \langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\rangle \in \mathbf {R} }
. Merkintä
‖
a
‖
{\displaystyle \Vert {\boldsymbol {a}}\Vert }
tarkoittaa vektorin a normia ;
‖
a
‖
2
=
⟨
a
,
a
⟩
.
{\displaystyle \Vert {\boldsymbol {a}}\Vert ^{2}=\langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {a}}\rangle .}
Lisäksi huomataan, että sisätulon määritelmästä seuraa
‖
a
‖
≥
0
{\displaystyle \Vert {\boldsymbol {a}}\Vert \geq 0}
ja erityisesti pätee
‖
v
1
‖
=
‖
w
1
‖
>
0
{\displaystyle \Vert {\boldsymbol {v}}_{1}\Vert =\Vert {\boldsymbol {w}}_{1}\Vert >0}
, koska muutoin w 1 = 0 , mikä ei ole mahdollista, koska jono ( w 1 , ..., w n ) on vapaa.
v
3
=
w
3
−
p
r
o
j
V
2
(
w
3
)
=
w
3
−
⟨
w
3
,
v
1
⟩
‖
v
1
‖
2
v
1
−
⟨
w
3
,
v
2
⟩
‖
v
2
‖
2
v
2
,
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{3}={\boldsymbol {w}}_{3}-proj_{V_{2}}({\boldsymbol {w}}_{3})={\boldsymbol {w}}_{3}-{\dfrac {\langle {\boldsymbol {w}}_{3},{\boldsymbol {v}}_{1}\rangle }{{\Vert {\boldsymbol {v}}_{1}\Vert }^{2}}}\;{\boldsymbol {v}}_{1}-{\dfrac {\langle {\boldsymbol {w}}_{3},{\boldsymbol {v}}_{2}\rangle }{{\Vert {\boldsymbol {v}}_{2}\Vert }^{2}}}\;{\boldsymbol {v}}_{2},}
missä V2 on vektoreiden v 1 ja v 2 virittämä aliavaruus ja projV2 (w 3 ) on vektorin w 3 kohtisuora projektio aliavaruudelle V2 .
⋮
{\displaystyle \vdots }
v
k
=
w
k
−
∑
j
=
1
k
−
1
p
r
o
j
V
k
−
1
(
w
k
)
,
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{k}={\boldsymbol {w}}_{k}-\sum _{j=1}^{k-1}proj_{V_{k-1}}({\boldsymbol {w}}_{k}),}
missä Vk-1 on vektoreiden v 1 , v 2 , ..., v k-1 virittämä aliavaruus ja projVk-1 (w k ) on vektorin w k kohtisuora projektio aliavaruudelle Vk-1 .
Näin muodostettu jono ( v 1 , ..., v n ) on ortogonaalinen. Ortonormaali jono ( u 1 , ..., u n ) saadaan normittamalla jono ( v 1 , ..., v n ):
(
u
1
,
.
.
.
,
u
n
)
=
(
v
1
‖
v
1
‖
,
.
.
.
,
v
n
‖
v
n
‖
)
.
{\displaystyle ({\boldsymbol {u}}_{1},...,{\boldsymbol {u}}_{n})=\displaystyle {\biggl (}{\dfrac {{\boldsymbol {v}}_{1}}{\Vert {\boldsymbol {v}}_{1}\Vert }},...,{\dfrac {{\boldsymbol {v}}_{n}}{\Vert {\boldsymbol {v}}_{n}\Vert }}{\biggr )}.}
Sisätuloavaruuden R 3 (sisätulona pistetulo) eräs kanta on jono ( w 1 , w 2 , w 3 ), missä w 1 = [1 0 1]T , w 2 = [0 1 2]T ja w 3 = [1 -1 2]T . Sovelletaan jonoon Gramin–Schmidtin menetelmää eli ortonormalisoidaan jono.
Valitaan
v
1
=
w
1
=
[
1
0
1
]
T
,
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}={\boldsymbol {w}}_{1}=[1\quad 0\quad 1]^{T},}
v
2
=
w
2
−
w
2
⋅
v
1
v
1
⋅
v
1
v
1
=
[
0
1
2
]
T
−
[
1
0
1
]
T
=
[
−
1
1
1
]
T
,
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{2}={\boldsymbol {w}}_{2}-{\dfrac {{\boldsymbol {w}}_{2}\cdot {\boldsymbol {v}}_{1}}{{\boldsymbol {v}}_{1}\cdot {\boldsymbol {v}}_{1}}}{\boldsymbol {v}}_{1}=[0\quad 1\quad 2]^{T}-[1\quad 0\quad 1]^{T}=[-1\quad 1\quad 1]^{T},}
v
3
=
w
3
−
w
3
⋅
v
1
v
1
⋅
v
1
v
1
−
w
3
⋅
v
2
v
2
⋅
v
2
v
2
=
[
1
−
1
2
]
T
−
3
2
[
1
0
1
]
T
=
[
−
1
2
−
1
1
2
]
T
.
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{3}={\boldsymbol {w}}_{3}-{\dfrac {{\boldsymbol {w}}_{3}\cdot {\boldsymbol {v}}_{1}}{{\boldsymbol {v}}_{1}\cdot {\boldsymbol {v}}_{1}}}{\boldsymbol {v}}_{1}-{\dfrac {{\boldsymbol {w}}_{3}\cdot {\boldsymbol {v}}_{2}}{{\boldsymbol {v}}_{2}\cdot {\boldsymbol {v}}_{2}}}{\boldsymbol {v}}_{2}=[1\quad -1\quad 2]^{T}-{\dfrac {3}{2}}[1\quad 0\quad 1]^{T}={\biggl [}-{\dfrac {1}{2}}\quad -1\quad {\dfrac {1}{2}}{\biggr ]}^{T}.}
Tarkistetaan: Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, mikäli niiden välinen pistetulo on nolla:
v
1
⋅
v
2
=
[
1
0
1
]
T
⋅
[
−
1
1
1
]
T
=
1
∗
(
−
1
)
+
0
∗
1
+
1
∗
1
=
0
,
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}\cdot {\boldsymbol {v}}_{2}=[1\quad 0\quad 1]^{T}\cdot [-1\quad 1\quad 1]^{T}=1*(-1)+0*1+1*1=0,}
v
1
⋅
v
3
=
[
1
0
1
]
T
⋅
[
−
1
2
−
1
1
2
]
T
=
1
∗
(
−
1
2
)
+
0
∗
(
−
1
)
+
1
∗
1
2
=
0
,
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}\cdot {\boldsymbol {v}}_{3}=[1\quad 0\quad 1]^{T}\cdot {\biggl [}-{\dfrac {1}{2}}\quad -1\quad {\dfrac {1}{2}}{\biggr ]}^{T}=1*{\biggl (}-{\dfrac {1}{2}}{\biggr )}+0*(-1)+1*{\dfrac {1}{2}}=0,}
v
2
⋅
v
3
=
[
−
1
1
1
]
T
⋅
[
−
1
2
−
1
1
2
]
T
=
(
−
1
)
∗
(
−
1
2
)
+
1
∗
(
−
1
)
+
1
∗
1
2
=
0.
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{2}\cdot {\boldsymbol {v}}_{3}=[-1\quad 1\quad 1]^{T}\cdot {\biggl [}-{\dfrac {1}{2}}\quad -1\quad {\dfrac {1}{2}}{\biggr ]}^{T}=(-1)*{\biggl (}-{\dfrac {1}{2}}{\biggr )}+1*(-1)+1*{\dfrac {1}{2}}=0.}
Normitetaan vielä:
u
1
=
v
1
‖
v
1
‖
=
1
2
[
1
0
1
]
T
,
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{1}={\dfrac {{\boldsymbol {v}}_{1}}{\Vert {\boldsymbol {v}}_{1}\Vert }}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;[1\quad 0\quad 1]^{T},}
u
2
=
v
2
‖
v
2
‖
=
1
3
[
−
1
1
1
]
T
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{2}={\dfrac {{\boldsymbol {v}}_{2}}{\Vert {\boldsymbol {v}}_{2}\Vert }}={\dfrac {1}{\sqrt {3}}}\;[-1\quad 1\quad 1]^{T}}
ja
u
3
=
v
3
‖
v
3
‖
=
2
3
[
−
1
2
−
1
1
2
]
T
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{3}={\dfrac {{\boldsymbol {v}}_{3}}{\Vert {\boldsymbol {v}}_{3}\Vert }}={\sqrt {\dfrac {2}{3}}}\;{\biggl [}-{\dfrac {1}{2}}\quad -1\quad {\frac {1}{2}}{\biggr ]}^{T}}
.
Nyt jono (u 1 , u 2 , u 3 ) on ortonormaali jono ja span(u 1 , u 2 , u 3 ) = span(w 1 , w 2 , w 3 ).
Honkasalo Hannu 2003: Lineaarialgebra I . Helsingin yliopisto. Matematiikan laitos.
Pesonen Martti E. 2011: Lineaarialgebra . Itä-Suomen yliopisto. [1] [vanhentunut linkki ]
Aiheesta muualla
muokkaa