Gergonnen piste

Gergonnen piste on geometriassa eräs kolmion merkillinen piste, joka ja se on luetteloitu Kimberlingin pisteiden luetteloon tunnuksella $\scriptstyle X_{7}.$ Kun kolmion sisään piirretään suurin ympyrä (sisäympyrä), mikä sinne mahtuu, sivuaa se kolmion sivuja sen sisäpuolelta. Kun sivuamispisteet, joita kutsutaan myös kantapisteiksi, yhdistetään ceviaaneilla sivujen vastaisiin kärkiin, leikkaavat nämä toisensa pisteessä, jota kutsutaan Gergonnen pisteeksi.

Sisäympyrän sivuamispisteisiin (T_A, T_B ja T_C) kolmion kärjistä piirretyt janat (vihreät) leikkaavat toisensa Gergonnen pisteessä (Ge). Tämä ei osu samaan kohtaan sisäympyrän keskipisteen I kanssa.

Sijainti kolmiossa

Trilineaariset koordinaatit

Pisteen trilineaariset koordinaatit

${\frac {bc}{b+c-a}}\,:\,{\frac {ca}{c+a-b}}\,:\,{\frac {ab}{a+b-c}}=\sec ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\,:\,\sec ^{2}{\frac {\beta }{2}}\,:\,\sec ^{2}{\frac {\gamma }{2}}$.

Barysentriset koordinaatit

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat

${\frac {1}{-a+b+c}}:{\frac {1}{a-b+c}}:{\frac {1}{a+b-c}}={\frac {1}{s-a}}:{\frac {1}{s-b}}:{\frac {1}{s-c}}$ :$=(s-b)(s-c)\,:\,(s-a)(s-c)\,:\,(s-a)(s-b)=\tan {\frac {\alpha }{2}}\,:\,\tan {\frac {\beta }{2}}\,:\,\tan {\frac {\gamma }{2}},$

missä $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ on kolmion piirin pituuden puolikas.

Ominaisuuksia

• Gergonnen pisteen isogonaalinen konjugaatti on insimilikeskus ($\scriptstyle X_{55}$).
• Sen sykloceviaaninen konjugaatti on se itse.
• Sen isotominen konjugaatti on Nagelin piste ($\scriptstyle X_{8}$).
• Se on pisteen $\scriptstyle X_{144}$ komplementti.
• Se on Mittenpunktin ($\scriptstyle X_{9}$) antikomplementti.

Todistus

Cevan lauseella on helppo todistaa, että sisäympyrän sivuamispisteisiin päättyvät ceviaanit leikkaavat toisensa yhteisessä Gergonnen pisteessä. Merkitään kolmion $\scriptstyle \triangle ABC$ sisäympyrän sivuamispisteitä vastaisen kärjen kirjaimilla $\scriptstyle A',\,B'\,ja\,C'$. Samaa kärkeä käyttävät suunnatut janat $\scriptstyle B'A=AC'$, koska ne ovat sisäympyrän tangentteja. Samoin on muidenkin kärjistä lähtevät janat $\scriptstyle BA'=C'B$ ja $\scriptstyle A'C=CB'$. Silloin Cevan lausetta seuraten

${\frac {AC'}{C'B}}\cdot {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}={\frac {AC'}{BA'}}\cdot {\frac {BA'}{CB'}}\cdot {\frac {CB'}{AC'}}={\frac {\cancel {AC'}}{BA'}}\cdot {\frac {BA'}{CB'}}\cdot {\frac {CB'}{\cancel {AC'}}}={\frac {1}{\cancel {BA'}}}\cdot {\frac {\cancel {BA'}}{\cancel {CB'}}}\cdot {\frac {\cancel {CB'}}{1}}={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}=1.$

Cevan lauseen mukaan janat $\scriptstyle AA'$, $\scriptstyle BB'$ ja $\scriptstyle CC'$ ovat konkurrentit.