Epämääräinen muoto

Epämääräinen muoto on matemaattinen merkintä, jolle ei voida määrittää lukuarvoa. Voidaan myös sanoa, että "lauseke ei ole määritelty".

Esimerkiksi jakolaskun 0/0 tulos ei ole määritelty, koska jakolaskun määritelmän mukaan se voisi olla mikä luku tahansa - onhan mikä tahansa luku nollalla kerrottuna nolla. Nollalla jakaminen on myös intuitiivisesti outo tapahtuma. Potenssilaskennassa merkintä $0^{0}$ ei ole määritelty, sillä eri tavoilla laskemalla siitä voidaan saada joko 1 tai 0. Matematiikassa jokaiselle lausekkeelle tulee voida osoittaa tulokseksi vain yksi lukuarvo.

Epämääräisiä muotoja ovat seuraavat seitsemän:

${\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~\infty -\infty ,~0^{0},~1^{\infty },{\text{ ja }}\infty ^{0}.$

Eräissä ohjelmointikielissä epämääräisiä muotoja vastaa "arvo" NaN.

Epämääräiset muodot ja raja-arvot

Epämääräiset muodot liittyvät läheisesti funktioiden ja lukujonojen raja-arvojen määrittämiseen. Jos tunnetaan kahden funktion tai lukujonon raja-arvot, useimmissa tapauksissa niistä voidaan päätellä myös niistä jollakin laskutoimituksella yhdistämällä saadun lausekkeen raja-arvo. Esimerkiksi jos

$\lim _{x\to C}f(x)=a$ ja $\lim _{x\to C}g(x)=b$,

on

$\lim _{x\to C}f(x)-g(x)=a-b$ ja $\lim _{x\to C}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {a}{b}}$,

olivatpa f ja g mitkä tahansa funktiot, joilla on nämä raja-arvot.

Jos raja-arvoksi tällä tavoin saatava lauseke kuitenkin on jokin epämääräinen muoto, ei lausekkeen raja-arvoa voida suoraan päätellä alkuperäisten funktioiden tai lukujonojen raja-arvoista. Näin käy esimerkiksi seuraavassa tapauksessa:

Esimerkkejä funktioista

Tarkastellaan seuraavia raja-arvoja: $\lim _{x\to +\infty }x=+\infty$ et $\lim _{x\to +\infty }x^{2}=+\infty$.

• Kaikilla reaaliluvilla $x\neq 0$ on ${\dfrac {x}{x^{2}}}={\dfrac {1}{x}}$. Niinpä $\lim _{x\to +\infty }{\dfrac {x}{x^{2}}}=\lim _{x\to +\infty }{\dfrac {1}{x}}=0$.
• Kaikilla reaaliluvilla $x\neq 0$, on ${\dfrac {x^{2}}{x}}=x$. Niinpä $\lim _{x\to +\infty }{\dfrac {x^{2}}{x}}=\lim _{x\to +\infty }x=+\infty$.

Tässä esimerkissä molemmilla lausekkeilla, $x$ ja $x^{2}$, on sama raja-arvo $+\infty$, kun $x\to +\infty$, mutta niiden osamäärillä on eri raja-arvot. Jos taas määritellään $f(x)=x$ ja $g(x)=Ax$, missä A on mielivaltainen positiivinen vakio, on kummankin funktion raja-arvo $\infty$, kun $x\to \infty$, mutta osamäärien raja-arvot ovat

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=A$ ja

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {g(x)}{f(x)}}=1/A$,

olipa A mikä positiivinen luku tahansa.

Nämä esimerkit osoittavat, ettei kahden funktion suhteen raja-arvoa voida määrittää pelkästään sen tiedon perusteella, että molempien funktioiden raja-arvo on $\infty$. Tämän vuoksi lauseketta $\infty /\infty$ sanotaan epämääräiseksi muodoksi.

Esimerkki lukujonoista

Olkoot $(u_{n})$ ja $(v_{n})$ kaksi lukujonoa, jotka on määritelty kaikille luonnollisille luville $n$ siten, että $u_{n}=n$ ja $v_{n}=n^{2}$. Täten on siis $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=+\infty$ ja $\lim _{n\to +\infty }v_{n}=+\infty$.

Ensinnäkin kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$ on $u_{n}-v_{n}=n-n^{2}=n(1-n)$. Koska $\lim _{n\to +\infty }n=+\infty$ ja $\lim _{n\to +\infty }(1-n)=-\infty$, saadaan raja-arvojen tuloksi $\lim _{n\to +\infty }n(1-n)=\lim _{n\to +\infty }(u_{n}-v_{n})=-\infty$.

Toiseksi kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$ on $v_{n}-u_{n}=n^{2}-n=n(n-1)$. Koska $\lim _{n\to +\infty }n=+\infty$ ja $\lim _{n\to +\infty }(n-1)=+\infty$, saadaan raja-arvojen tuloksi$\lim _{n\to +\infty }n(n-1)=\lim _{n\to +\infty }(v_{n}-u_{n})=+\infty$.

Niinpä vaikka molempien lukujonojen raja-arvo on $+\infty$, näillä erotuksilla on eri raja-arvot. Ei siis voida esittää yleistä sääntöä, josta saataisiin minkä tahansa kahden lukujonon erotuksen raja-arvot, kun molempien lukujonojen raja-arvo on $\infty$. Tämän vuoksi myös lauseke $\infty -\infty$ kuuluu epämääräisiin muotoihin.

Epämääräiset muodot

Seuraavissa lausekkeissa oletetaan, että $c$ kuuluu laajennettuun reaalilukujoukkoon $\mathbb {R} \cup {\infty ,-\infty }$. Epämääräisiin muotoihin johtavat seuraavat raja-arvot:

Epämääräinen muoto	Etsitty raja-arvo	Ehto $f$:n avulla	Ehto $g$:n avulla
$\infty -\infty$	$\lim _{x\to c}{\big (}f(x)-g(x){\big )}$	$\lim _{x\to c}f(x)=+\infty$	$\lim _{x\to c}g(x)=+\infty$
$0/0$	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0$	$\lim _{x\to c}g(x)=0$
$\infty /\infty$	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$	$\lim _{x\to c}f(x)=\pm \infty$	$\lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty$
$0\cdot \infty$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)$	$\lim _{x\to c}f(x)=0$	$\lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty$
$1^{\infty }$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}$	$\lim _{x\to c}f(x)=1$	$\lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty$
$\infty ^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}$	$\lim _{x\to c}f(x)=\pm \infty$	$\lim _{x\to c}g(x)=0$
$0^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0$	$\lim _{x\to c}g(x)=0$

Yksinkertaisimpia tapauksia ovat identtiset funktiot $f(x)=x$ ja $g(x)=x$. Tällöin epämääräisiin muotoihin johtavat seuraavat raja-arvot:

Epämääräinen muoto	Raja-arvot
$\infty -\infty$	$\lim _{x\to \infty }x-\infty =-\infty$	$\lim _{x\to \infty }\infty -x=\infty$	$\lim _{x\to \infty }x-x=0$
$0/0$	$\lim _{x\to 0}x/0=\infty$	$\lim _{x\to 0}0/x=0$	$\lim _{x\to 0}x/x=1$
$\infty /\infty$	$\lim _{x\to \infty }x/\infty =0$	$\lim _{x\to \infty }\infty /x=\infty$	$\lim _{x\to \infty }x/x=1$
$0\cdot \infty$	$\lim _{x\to 0}x\cdot \infty =\infty$	$\lim _{x\to \infty }0\cdot x=0$
$1^{\infty }$	$\lim _{x\to 1+}x^{\infty }=\infty$	$\lim _{x\to 1-}x^{\infty }=0$	$\lim _{x\to \infty }1^{x}=1$
$\infty ^{0}$	$\lim _{x\to \infty }x^{0}=1$	$\lim _{x\to 0}\infty ^{x}=\infty$
$0^{0}$	$\lim _{x\to 0}x^{0}=1$	$\lim _{x\to 0+}0^{x}=0$	$\lim _{x\to 0+}x^{x}=1$

Sovelluksia

Neperin luku ja eksponenttifunktio

Epämääräinen muoto $1^{\infty }$ liittyy läheisesti Neperin lukuun ja eksponenttifunktion $e^{x}$. Neperin luku e määritellään seuraavasti:

$e=\lim _{n\to \infty }(1+1/n)^{n}$,

ja voidaan osoittaa, että eksponenttifunktiolle $e^{x}$ pätee:

$e^{x}=\lim _{n\to \infty }(1+x/n)^{n}$

Jos määritellään lukujonot $A(n)=1+x/n$ ja $B(n)=n$, saadaan

$A(n)\lim _{n\to \infty }(1+x/n)=0$, ja tietenkin

$\lim _{n\to \infty }n=\infty$,

ja kuitenkin $\lim _{n\to \infty }A(n)^{B^{n}}$ voi x:n arvosta riippuen saada kaikki positiiviset reaalilukuarvot.

Funktion derivaatta

Epämääräinen muoto 0/0 on erityisen huomattava, koska se liittyy läheisesti derivaatan määritelmään. Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$.

Tässä lausekkeessa sekä osoittajan että nimittäjän raja-arvot, kun $h\to 0$, ovat selvästi nollia. Kuitenkin tämä raja-arvo eli funktion derivaatta voi funktiosta ja x:n arvosta riippuen saada minkä tahansa reaalilukuarvon.