Derivaattaryhmä
Derivaattaryhmä (tai derivoitu ryhmä, kommutaattorialiryhmä, derivaatta) merkitsee abstraktissa algebrassa ryhmän kaikkien kommutaattorien (eli muotoa olevien alkioiden) generoimaa aliryhmää.[1]
Ryhmän G derivaattaryhmää merkitään yleensä G', mutta kirjallisuudessa käytetään myös merkintöjä D(G), DG ja . Derivoitu ryhmä sisältää tarkalleen kaikki G:n kommutaattorien tulot, mikä nähdään aliryhmäkriteeristä ottaen huomioon kommutaattoreiden toteuttama yhtälö [x,y]-1 = [y,x]. Näin ollen se sisältää tarkalleen ne ryhmän G alkiot, jotka voidaan esittää muodossa , missä ja kaikilla .
Koska derivaattaryhmä on määritelty kommutaattoreita käyttäen, on luonnollista, että sillä on joitain vaihdannaisuuteen liittyviä ominaisuuksia. Ensimmäinen tällainen ominaisuus on seuraavanlainen: Mikäli G' on ryhmähomomorfismin ytimessä, niin G:n kuva tämän kuvauksen suhteen on vaihdannainen. Tämän seurauksena saadaan tärkeä yhtäpitävyys:
Tämän perusteella ja on Abelin ryhmä. Lisäksi G' on nämä ehdot täyttävien G:n aliryhmien joukossa erikoisasemassa, sillä se on yllä olevan yhtäpitävyyden perusteella niistä suppein.[1]
Korkeamman kertaluvun derivaattaryhmät
muokkaaKorkeamman kertaluvun derivaattaryhmät määritetään induktiivisesti. Ryhmän G kertalukua 2 oleva derivaattaryhmä on ryhmän G' derivaattaryhmä. Yleisesti kertalukua k olevaa derivaattaryhmää merkitään G(k) ja se on ryhmän G kertalukua k-1 olevan derivaattaryhmän G(k-1) derivaattaryhmä, missä k on lukua 1 suurempi positiivinen kokonaisluku.[2]
Derivoitu ketju
muokkaaRyhmän G derivoitu ketju on ääretön jono . Mikäli G on äärellinen, täytyy jostain indeksistä n alkaen olla voimassa ···. Jos tällöin , sanotaan, että G on ratkeava ryhmä. Vastaavalla tavalla äärettömän ryhmän sanotaan olevan ratkeava, jos sen jonkin kertaluvun derivaattaryhmässä on vain ykkösalkio.[3]
Lähteet
muokkaa- Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0. (englanniksi)