Derivaattaryhmä

Derivaattaryhmä (tai derivoitu ryhmä, kommutaattorialiryhmä, derivaatta) merkitsee abstraktissa algebrassa ryhmän kaikkien kommutaattorien (eli muotoa $x^{-1}y^{-1}xy$ olevien alkioiden) generoimaa aliryhmää.

Ryhmän G derivaattaryhmää merkitään yleensä G', mutta kirjallisuudessa käytetään myös merkintöjä D(G), DG ja $[G,G]$. Derivoitu ryhmä sisältää tarkalleen kaikki G:n kommutaattorien tulot, mikä nähdään aliryhmäkriteeristä ottaen huomioon kommutaattoreiden toteuttama yhtälö [x,y]^-1 = [y,x]. Näin ollen se sisältää tarkalleen ne ryhmän G alkiot, jotka voidaan esittää muodossa $\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}y_{i}^{-1}x_{i}y_{i}$, missä $n\geq 1$ ja $x_{i},y_{i}\in G$ kaikilla $i=1,\dots ,n$.

Koska derivaattaryhmä on määritelty kommutaattoreita käyttäen, on luonnollista, että sillä on joitain vaihdannaisuuteen liittyviä ominaisuuksia. Ensimmäinen tällainen ominaisuus on seuraavanlainen: Mikäli G' on ryhmähomomorfismin $f:G\rightarrow G_{1}$ ytimessä, niin G:n kuva tämän kuvauksen suhteen on vaihdannainen. Tämän seurauksena saadaan tärkeä yhtäpitävyys:

$G'\leq H\leq G\quad \Leftrightarrow \quad H\triangleleft G$ ja tekijäryhmä $G/H$ on Abelin ryhmä.

Tämän perusteella $G'\triangleleft G$ ja $G/G'$ on Abelin ryhmä. Lisäksi G' on nämä ehdot täyttävien G:n aliryhmien joukossa erikoisasemassa, sillä se on yllä olevan yhtäpitävyyden perusteella niistä suppein.

Korkeamman kertaluvun derivaattaryhmät

Korkeamman kertaluvun derivaattaryhmät määritetään induktiivisesti. Ryhmän G kertalukua 2 oleva derivaattaryhmä $G''$ on ryhmän G' derivaattaryhmä. Yleisesti kertalukua k olevaa derivaattaryhmää merkitään G^(k) ja se on ryhmän G kertalukua k-1 olevan derivaattaryhmän G^(k-1) derivaattaryhmä, missä k on lukua 1 suurempi positiivinen kokonaisluku.

Derivoitu ketju

Ryhmän G derivoitu ketju on ääretön jono $G\triangleright G'\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots$. Mikäli G on äärellinen, täytyy jostain indeksistä n alkaen olla voimassa $G^{(n)}=G^{(n+1)}=$ ···. Jos tällöin $G^{(n)}=\{1\}$, sanotaan, että G on ratkeava ryhmä. Vastaavalla tavalla äärettömän ryhmän sanotaan olevan ratkeava, jos sen jonkin kertaluvun derivaattaryhmässä on vain ykkösalkio.

Lähteet

• Humphreys, John F.: A Course in Group Theory. Oxford: Oxford University Press, 1996. ISBN 0-19-853459-0 (englanniksi)