Brillouinin vyöhyke

Brillouinin vyöhyke on matematiikassa ja varsinkin kiinteän olomuodon fysiikassa käänteishilan alkeiskoppi. Samaan tapaan kuin suoraa hilaa esittävä Bravais’n hila todellisessa avaruudessa voidaan jakaa Wigner–Seitzin soluihin, voidaan käänteishila jakaa Brillouinin vyöhykkeisiin. Niiden väliset rajat ovat käänteishilan läpi kulkevia tasoja. Brillouinin vyöhykkeillä on keskeinen merkitys kiinteän olomuodon fysiikassa erityisesti siitä syystä, koska jaksollisessa väliaineessa etenevät aallot voidaan kuvata Blochin aaltoina, ja tällöin osoittautuu, että ratkaisuja luonnehtii täydellisesti se, miten ne käyttäytyvät yhdessä ainoassa Brillouinin vyöhykkeessä.

Neliöhilan (a) ja kuusikulmiohilan (bI) käänteishilat ja vastaavat ensimmäiset Brillouinin vyöhykkeet.

Tärkein hilan Brillouinin vyöhykkeistä on ensimmäinen Brillouinin vyöhyke. Se määritellään niiden käänteis­avaruuden pisteiden joukoksi, jotka ovat lähempänä käänteis­hilan origoa kuin mitään muuta käänteis­hilan hila­pistettä. Yhtäpitävästi se voidaan määritellä niiden k-avaruuden pisteiden joukoksi, joihin voidaan päästä origosta leikkaamatta yhtäkään Braggin tasoa. Samalla se on origoa ympäröivä Voronoin solu käänteishilassa.

On olemassa myös toinen ja kolmas Brillouinin vyöhyke ja niin edelleen. Ne vastaavat sarjaa erillisiä, tilavuudeltaan yhtä suuria alueita kasvavilla etäisyyksillä origosta, mutta niitä käytetään harvemmin. Ensimmäistä Brillouinin vyöhykettä sanotaankin usein yksin­kertaisesti Brillouinin vyöhykkeeksi. Yleisesti n:s Brillouinin vyöhyke käsittää ne käänteis­avaruuden pisteet, joihin pääsee origosta leikkaamalla täsmälleen n − 1 eri Braggin tasoa.

Brillouinin vyöhykkeeseen läheisesti liittyvä käsite on redusoitumaton Brillouinin vyöhyke. Koska ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä yleensä on symmetriaominaisuuksia, se voidaan jakaa keskenään yhteneviin alueisiin. Redusoitumaton Brillouinin vyöhyke saadaan tällä tavoin ottamalla huomioon ensimmäisen Brillouinin vyöhykkeen kaikki symmetriat.

Brillouinin vyöhykkeen käsitteen kehitti ranskalainen fyysikko Léon Brillouin (1889–1969).

Esimerkkejä

Koska pintakeskisen kuutiollisen (FCC) hilan käänteishila on tilakeskinen kuutiollinen (BCC), on pintakeskisen kuutiollisen hilan Brillouinin vyöhyke saman muotoinen kuin tila­keskisen kuutiollisen hilan Wigner–Seitzin solu, katkaistu oktaedri. Vastaavasti tila­keskisen kuutiollisen hilan Brillouinin vyöhyke on saman muotoinen kuin pinta­keskisen kuutiollisen hilan Wigner–Seitzin solu, rombidodekaedri.

Kriittiset pisteet

Pintakeskisen kuutiollisen hilan ensimmäinen Brillouinin vyöhyke, joka on muodoltaan katkaistu oktaedri ja johon on merkitty korkean symmetrian viivat ja pisteet.

Joillakin Brillouinin vyöhykkeeseen liittyvillä pisteillä, joita sanotaan sen kriittisiksi pisteiksi, on symmetrian vuoksi erityinen merkitys. Kuutiollisten ja heksagonaalisen hilan kriittiset pisteet on lueteltu seuraavassa taulukossa:

Symboli	Kuvaus
Γ	Brillouinin vyöhykkeen keskipiste
Yksinkertainen kuutiollinen
M	Särmän keskipiste
R	Kärkipiste
X	Tahkon keskipiste
Pintakeskinen kuutiollinen
K	Kahden kuusikulmaisen tahkon välisen särmän keskipiste
L	Kuusikulmaisen tahkon keskipiste
U	Kuusikulmaisen ja neliömäisen tahkon välisen särmän keskipiste
W	Kärkipiste
X	Neliömäisen tahkon keskipiste
Tilakeskinen kuutiollinen
H	Kärkipiste, jossa neljä särmää kohtaa toisensa
N	Tahkon keskipiste
P	Kärkipiste, jossa kolme särmää kohtaa toisensa
Heksagonaalinen
A	Kuusikulmaisen tahkon keskipiste
H	Kärkipiste
K	Kahden suorakulmaisen tahkon välisen särmän keskipiste
L	Kuusikulmaisen ja suorakulmaisen tahkon keskipiste
M	Suorakulmaisen tahkon keskipiste

Muilla hiloilla on erityyppisiä korkean symmetrian keskuksia. Niitä on kuvissa jäljempänä.

Monokliininen hilajärjestelmä MCL(1), MCLC(5)

Pohjakeskinen monokliininen hilatyyppi 2 (MCLC2).

Ortorombinen hilajärjestelmä ORC(1), ORCC(1), ORCI(1), ORCF(3)

Yksinkertainen ortorombinen hilatyyppi (ORC).

Pohjakeskinen ortorombinen hilatyyppi (ORCC).

Tilakeskinen ortorombinen hilatyyppi (ORCI).

Pintakeskinen ortorombinen hilatyyppi 1 (ORCF1).

Pintakeskinen ortorombinen hilatyyppi 2 (ORCF2).

Pintakeskinen ortorombinen hilatyyppi 3 (ORCF3).

Tetragonaalinen hilajärjestelmä TET(1), BCT(2)

Tilakeskinen tetragonaalinen hilatyyppi 1 (BCT1).

Tilakeskinen tetragonaalinen hilatyyppi 2 (BCT2).

Kuutiollinen hilajärjestelmä CUB(1), BCC(1), FCC(1)

Yksinkertainen kuutiollinen hila (CUB).

Tilakeskinen kuutiollinen hila (BCC).

Pintakeskinen kuutiollinen hila (FCC).

Fysikaalinen merkitys

Fysikaaliselta merkitykseltään käänteishilan pisteet vastaavat kiteessä etenevien aaltojen mahdollisia aaltovektoreita. Käänteishila ja siihen liittyvä Brillouinin vyöhyke on kiinteän olomuodon fysiikan keskeisimpiä käsitteitä.. Niiden merkitys kiinteiden aineiden teoriassa on niin perustava, että niitä on verrattu Maxwellin yhtälöihin, sillä niistä voidaan johtaa suuri osa koko teoriasta, samoin kuin koko sähkömagnetismin teoria voidaan johtaa Maxwellin yhtälöistä.

Kiteen atomien värähtelyt

Tutkittaessa kidehilassa esiintyviä, atomien värähtelystä aiheutuvia kimmoaaltoja voidaan yleensä rajoittua käsittelemään aaltoja, joiden aaltovektori sisältyy ensimmäiseen Brillouinin vyöhykkeeseen, sillä aallot, joiden aaltovektori on tämän ulkopuolella, voidaan käsittää ekvivalenteiksi jonkin Brillouinin vyöhykkeessä olevan aallon kanssa. Tämä on ehkä helpoimmin ymmärrettävissä tarkasteltaessa yksiulotteista atomiketjua.

Olkoon ketjussa atomien välimatka vakio r. Sen suoran hilan pisteitä ovat tällöin suoran pisteet nr, missä n on mielivaltainen kokonaisluku. Ketjun käänteishilan muodostavat k-avaruuden pisteet ${\frac {2n\pi }{r}}$. Näin ollen sen ensimmäisen Brillouinin vyöhykkeen muodostaa väli $[{\frac {-2\pi }{r}},{\frac {2\pi }{r}}]$.

Tarkastellaan kahta tällaisessa ketjussa etenevää aaltoa, joiden aaltovektorit ovat $k$ ja $k+n{\frac {2\pi }{r}}$ ja joilla on sama amplitudi A. Tällöin näistä ensimmäinen on ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä, jälkimmäinen sen ulkopuolella. Näiden aaltojen aallonpituudet ovat $\lambda _{1}={\frac {2\pi }{k}}$ ja $\lambda _{2}={\frac {2\pi }{k+n{\frac {2\pi }{r}}}}$. Olkoon m mielivaltainen kokonaisluku, jolloin mr on jokin ketjuun kuuluva hilapiste, toisin sanoen jonkin atomin sijaintipaikka.

Jos kiteessä etenee aalto, jonka aaltovektori on $k$ ja jos sen vaihekulma origossa jollakin hetkellä on $\theta$, pisteessä mr olevan atomin poikkeama tasapainopisteestä samalla hetkellä on $A\sin {(\theta -kmr)}$. Jos aallon aaltovektori onkin $k+n{\frac {2\pi }{r}}$, saman atomin poikkeama tasapainopisteestä samalla hetkellä onkin $A\sin {(\theta -(k+n{\frac {2\pi }{r}})mr)}$ = $A\sin {(\theta -kmr)}$. Tämä on kuitenkin sama kuin ensimmäisenkin aallon tapauksessa, koska n on kokonaisluku ja sinifunktio saa saman arvon, kun sen argumenttiin lisätään $2\pi$ kerrottuna millä tahansa kokonaisluvulla. Nämä aallot ovat siis aina samassa vaiheessa jokaisen hilapisteen eli atomin kohdalla, eikä sillä, missä vaiheessa ne ovat hilapisteiden välissä, ole fysikaalista merkitystä. Jälkimmäinen aalto on siis ekvivalentti edellisen kanssa, jonka aaltovektori on ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä.

Elektronit

Brillouinin vyöhykkeiden konstruointi valitulta alueelta tapahtuvan diffraktion avulla käytettäessä 300 keV:n jännitteellä kiihdytettyjä elektroneja.

Myös elektronit voivat liikkua kiteen sisällä ja olla vuorovaikutuksessa atomien kanssa. Atomihilan jaksollisuuden vuoksi myös tähän vuorovaikutukseen liittyvät voimat ovat jaksollisia. Kvanttimekaniikan mukaan elektroneillakin on aaltoluonne, ja niiden mahdolliset aaltofunktiot vastaavat Schrödingerin yhtälön ratkaisuja. Elektronin aaltoluonteesta seuraa myös, että niillä on tietyn suuruinen aaltovektori, minkä vuoksi Schrödingerin yhtälö ratkaisuineen voidaan esittää myös käänteishilassa. Elektroneille voidaan määritellä myös Brillouinin vyöhyke aivan vastaavalla tavalla kuin atomien värähtelyjen tapauksessa. Ratkaisuna saadaan muotoa

$u_{k}(x)\sin {(kx-\omega t)}$

olevia funktioita. Funktio $u_{k}(x)$ on hilan tavoin jaksollinen, mutta näiden ratkaisujen huomattava ominaisuus on, että ovat epäjatkuvia Brillouinin vyöhykkeen rajoilla. Tämä merkitsee, että on olemassa energian arvoja, joita ei vastaa mikään etenevää elektronia kuvaa ratkaisua. Täten tuloksena saadaan joukko energiavöitä, joiden välissä on energia-aukkoja.

Jokaisella aaltovektorilla k on vastine −k, joka kuvaa vastakkaiseen suuntaan etenevää elektroniaaltoa. Täytetyssä vyössä kumpaankin suuntaan eteneviä elektroneja on yhtä paljon, mikä merkitsee, että sähkövirtaa ei esiinny. Sähköjännitteen avulla elektronit voidaan kuitenkin järjestää uudestaan, mutta sähkötekniikassa tavallisesti käytetyillä jännitteillä pystytään aiheuttamaan ainoastaan pieniä energia­siirtymiä verrattuna energia-aukon kokoon. Metallien sähkönjohtavuus perustuu siihen, että niillä energiavyöt ovat vain osittain täytettyjä. Aineet, joilla energiavyöt ovat kokonaan täytettyjä, ovat eristeitä. On myös aineita, joilla täytettyjen vöiden välissä on energia-aukkoja, mutta ne ovat pienempiä kuin atomin keski­määräinen lämpöliike-energia huoneen­lämpö­tilassa. Tällaiset aineet ovat puolijohteita. Ne ovat hyvin matalissa lämpötiloissa eristeitä, mutta korkeissa lämpötiloissa melko hyviä johteita.

Lähteet

• Charles Kittel: Introduction to Solid State Physics. New York: Wiley, 1996. ISBN 0-471-14286-7 (englanniksi)
• Léon Brillouin: Les électrons dans les métaux et le classement des ondes de de Broglie correspondantes. omptes Rendus Hebomadaires des Séances de l'Académie des Sciences, 1930, 191. vsk, nro 292. Artikkelin verkkoversio. (ranskaksi)