Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.
Weierstrassin elliptinen funktio meromorfinen funktio , joka on yksinkertaisin esimerkki elliptisestä funktiosta . Erotuksena Jacobin elliptisistä funktioista , Weierstrassin elliptisellä funktiolla on kussakin perussuunnikkaassaan vain yksi kaksinkertainen napa .
Näitä funktioita nimitetään myös ℘-funktioiksi, jossa ℘ on käsinkirjoitettu p (Unicode-merkki U+2118).
Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon, Karl Weierstrassin mukaan.
℘
(
z
)
=
1
z
2
+
∑
(
m
,
n
)
≠
(
0
,
0
)
1
(
z
−
2
m
ω
1
−
2
n
ω
2
)
2
−
1
(
2
m
ω
1
+
2
n
ω
2
)
2
{\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(z-2m\omega _{1}-2n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(2m\omega _{1}+2n\omega _{2})^{2}}}}
missä
ω
1
{\displaystyle \omega _{1}}
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}}
ω
1
/
ω
2
∉
R
{\displaystyle \omega _{1}/\omega _{2}\notin \mathbb {R} }
Ω
n
m
=
m
2
ω
1
+
n
2
ω
2
{\displaystyle \Omega _{nm}=m2\omega _{1}+n2\omega _{2}}
Ω
n
m
/
2
{\displaystyle \Omega _{nm}/2}
perussuunnikas . Funktion derivaatalle saadaan lauseke
℘
′
(
z
)
=
−
2
∑
(
m
,
n
)
∈
Z
2
1
(
z
−
2
m
ω
1
+
2
n
ω
2
)
3
{\displaystyle \wp '(z)=-2\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}}{\frac {1}{(z-2m\omega _{1}+2n\omega _{2})^{3}}}}
joka on selvästi pariton funktio , eli
℘
′
(
−
z
)
=
−
℘
′
(
z
)
{\displaystyle \wp '(-z)=-\wp '(z)}
℘
(
z
)
{\displaystyle \wp (z)}
{
℘
(
x
+
2
ω
1
)
=
℘
(
x
)
℘
(
y
+
2
ω
2
)
=
℘
(
y
)
{\displaystyle {\begin{cases}\wp (x+2\omega _{1})=\wp (x)\\\wp (y+2\omega _{2})=\wp (y)\end{cases}}}
Weierstrassin elliptinen funktio toteuttaa differentiaaliyhtälön
(
℘
′
)
2
=
4
(
℘
(
z
)
)
3
−
g
2
℘
(
z
)
−
g
3
{\displaystyle (\wp ')^{2}=4(\wp (z))^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}}
Merkitsemällä
x
=
℘
(
z
)
{\displaystyle x=\wp (z)}
y
=
℘
′
(
z
)
{\displaystyle y=\wp '(z)}
elliptinen käyrä . Yhtäpitävästi voidaan kirjoittaa myös integraaliesitys
z
=
∫
℘
(
z
)
∞
4
t
2
−
g
2
t
−
g
3
d
t
{\displaystyle z=\int _{\wp (z)}^{\infty }{\sqrt {4t^{2}-g_{2}t-g_{3}}}\;dt}
℘
(
z
+
y
)
=
1
4
(
℘
′
(
z
)
−
℘
′
(
y
)
℘
(
z
)
−
℘
(
y
)
)
2
−
℘
(
z
)
−
℘
(
y
)
{\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}{\Big (}{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}{\Big )}^{2}-\wp (z)-\wp (y)}
Argumentin kaksinkertaistuskaava saadaan helposti summakaavasta
℘
(
2
z
)
=
1
4
(
℘
″
(
z
)
℘
′
(
z
)
)
2
−
2
℘
(
z
)
{\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}{\Big (}{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}{\Big )}^{2}-2\wp (z)}
℘
(
z
)
=
1
z
2
+
1
20
g
2
z
2
+
1
28
g
3
z
4
+
O
(
z
6
)
{\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}z^{4}+{\mathcal {O}}(z^{6})}
℘
′
(
z
)
=
−
2
z
3
+
1
10
g
2
z
+
1
7
g
3
z
3
+
O
(
z
5
)
{\displaystyle \wp '(z)=-{\frac {2}{z^{3}}}+{\frac {1}{10}}g_{2}z+{\frac {1}{7}}g_{3}z^{3}+{\mathcal {O}}(z^{5})}
