Jacobin elliptiset funktiot

Jacobin elliptiset funktiot ovat kahdentoista erikoisfunktion joukko. Ne tulevat vastaan etsittäessä käänteisfunktiota ensimmäisen lajin elliptiselle integraalille. Jacobin elliptiset funktiot muistuttavat monilta ominaisuuksiltaan trigonometrisia funktioita ja niiden nimeämisessä on tiettyjä yhtäläisyyksiä. Funktiot otti käyttöön Carl Gustav Jakob Jacobi noin vuonna 1830.

sn, cn ja dnMuokkaa

Olkoon ensimmäisen lajin elliptinen integraali määritelty Legendren muodossa

 ,

missä   on elliptisen integraalin amplitudi. Määritellään uusi funktio siten, että

 .

Vastaavasti toinen funktio saadaan kosinin avulla

 .

Kolmas funktio on

 .

Nämä ovat kolme ensimmäistä Jacobin elliptistä funktiota. Viimeistä funktiota kutsutaan joskus myös delta amplitudiksi. Trigonometristen funktioiden tapaan näille on voimassa

 

ja funktion   määritelmästä nähdään, että

 .

Muita Jacobin elliptisiä funktioitaMuokkaa

Lisää Jacobin elliptisiä funktioita saadaan edellisten osamäärinä. Huomaa kuinka uusien funktioiden nimet muodostuvat:

 


 


 

Kaikille funktioille voidaan kirjoittaa käänteisfunktio periaatteella

 

Yhteys trigonometrisiin ja hyperbolisiin funktioihinMuokkaa

Jacobin elliptisillä funktioilla on yhteys sekä trigonometrisiin funktioihin että hyperbolisiin funktioihin elliptisen modulin   kautta ja elliptisiä funktioita voidaan pitää näiden alkeisfunktioiden kaksijaksoisina yleistyksinä. Trigonometrisiin funktioihin ovat voimassa relaatiot

 
 
 

ja hyperbolisiin funktioihin

 
 


Esiintyminen differentiaaliyhtälöiden ratkaisunaMuokkaa

Jacobin elliptiset funktiot ratkaisevat eräitä epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Näiden yhtälöiden yleinen muoto on

 ,

missä A, B, C ja D ovat vakioita. Esimerkiksi funktio   toteuttaa yhtälöt

  sekä
 .

Funktio   toteuttaa yhtälöt

  sekä
 

ja funktio   toteuttaa yhtälöt

  sekä
 

Katso myösMuokkaa

Aiheesta muuallaMuokkaa