Geometrisen keskiarvon lause

Geometrisen keskiarvon lause kuvaa suorakulmaisen kolmion hypotenuusalta piirretyn korkeusjanan ja sen jakamien hypotenuusan osien suhdetta. Lauseen mukaan korkeusjanan pituus on näiden osien pituuksien geometrinen keskiarvo.

Lause

harmaiden alueiden pinta-alat ovat yhtä suuret
$h^{2}=pq\Leftrightarrow h={\sqrt {pq}}$

Jos h on suorakulmaisen kolmion hypotenuusaa vastaava korkeusjana ja p and q korkeusjanan jakamat hypotenuusan osat niin näiden suhdetta voidaan kuvata lauseella:

$h={\sqrt {pq}}$

tai vastaavasti:

$h^{2}=pq.$

Eukleides (n. 360–280 eaa.) käytti jälkimmäistä lausetta (2. kirjan 14. väittämä) annetun suorakulmion kanssa yhtäsuuren neliön piirtämiseen harpin ja viivaimen avulla:
-Ensin suorakulmion DBIE sivua BD jatketaan suorakulmion sivun DE verran(DE=DA).
-Seuraavaksi piirretään puoliympyrä, jonka halkaisija on pidennetty sivu AB.
-Pidennetään janaa DE ympyrän kehälle pisteeseen C.
-DC on halutun neliön sivun pituus.

Lausetta voidaan soveltaa myös käänteisesti: Jos kolmion korkeus­janan jakamien segmenttien tulo on yhtä kuin korkeusjanan neliö, niin kolmio on suorakulmainen.

Todistus

Yhdenmuotoiset kolmiot

Teoreema:

Kolmiot $\triangle ADC$ ja $\triangle BDC$ ovat yhden­muotoisia. Yhdenmukaisuudesta seuraa yhtälö:

${\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)$

Käänteisesti:

Olkoon kolmio $\triangle ABC$ jossa $h^{2}=pq$ pätee ja todistetaan että C on suorakulma. Koska $h^{2}=pq$ niin myös ${\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}$. Kolmioiden suorat kulmat ovat yhtäsuuret $\angle ADC=\angle CDB$ joten kolmioilla$\triangle ADC$ ja $\triangle BDC$ on yksi yhtä suuri kulma ja sen viereiset kulmat ovat keskenään saman suhtaisia, jolloin myös muut kulmat pienemmissä kolmioissa ovat yhtäsuuria. Tästä seuraa että::$\angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)=90^{\circ }$

Uudelleen järjesteltynä

Leikataan suorakulmainen kolmio korkeusjanan h kohdalta kahteen yhdenmuotoiseen kolmioon, jotka järjestetään peräkkäin suuremmaksi kolmioksi, jonka sivun pituudet ovat p+h ja q+h. Ensimmäisen kolmioiden väliin jäävä tyhjä tila täyttyy pinta-alaltaan h² kokoisella neliöllä, ja toinen kolmioiden väliin jäävä alue suorakulmiolla pq. Koska molemmat uudelleen järjestetyt kolmiot ovat saman kokoisia, niin myös lisättyjen neliön ja suorakulmion tulee olla keskenään saman kokoisia.

Lähteet

• Eukleides: Elements, book II – prop. 14, book VI – prop. 8, (online copy)

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Geometrisen keskiarvon lause Wikimedia Commonsissa