Eisensteinin kokonaisluku

Matematiikassa Eisensteinin luvut ovat Gotthold Eisensteinin mukaan nimetyt kompleksiluvut, jotka ovat muotoa

Eisensteinin kokonaisluvut muodostavat kolmiohilan.

$z=a+b\omega \,\!$

missä a ja b ovat kokonaislukuja ja

$\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}$

on ykkösen kuutiojuuri. Eisensteinin luvut muodostavat kompleksitasoon kolmiohilan toisin kuin Gaussin kokonaisluvut, jotka muodostavat neliöhilan.

Ominaisuuksia

Eisensteinin kokonaisluvut muostavat algebrallisen lukukunnan kommutatiivisen renkaan Q(ω). Eisensteinin kokonaisluvut ovat algebrallisia kokonaislukuja, sillä z = a + bω on pääpolynomin

$z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).\,\!$

juuri. Erityisesti ω toteuttaa yhtälön

$\omega ^{2}+\omega +1=0.\,\!$

Eisensteinin kokonaisluvun normi on sen itseisarvon neliö, eli

$|a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!$

Siten Eisensteinin kokonaisluvun normi on kokonaisluku. Koska

$4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},\,\!$

on nollasta poikkeavan Eisensteinin kokonaisluvun normi positiivinen.

Eisensteinin kokonaislukujen muodostaman renkaan yksikköryhmä on syklinen ja sen virittää ykkösen kuudesjuuri. Ryhmä on muotoa

{±1, ±ω, ±ω²}

Nämä ovat ne Eisensteinin kokonaisluvut, joiden normi on 1.