Napakoordinaatisto

"Napakoordinaatisto" on kaksiuloitteinen koordinaatisto, jossa jokainen piste on määritetty kiertokulman θ ja säteen r funktiona. Napakoordinaatisto on käyttökelpoinen tilanteissa, joissa kahden pisteen välinen suhde on helpoiten määritettävissä kulman ja etäisyyden avulla - tavallisemmassa karteesisessa koordinaatistossa vastaava suhde voidaan määrittää ainoastaan trigonometrian keinoilla.

Napakoordinaatisto

Säde mittaa pisteen etäisyyttä keskipisteestä, eli karteesisen koordinaatiston origoa vastaavasta navasta. Kiertokulma mittaa kulman pisteen ja napa-akselin välillä. Napa-akselia vastaava akseli karteesisessa koordinaatistossa on positiivinen x-akseli.

Pisteiden piirtäminen napakoordinaatistossa

Pisteet (3,60°) ja (4,210°) napakoordinaatistossa

Jokainen napakoordinaatiston piste voidaan esittää kahdella napakoordinaatilla, jotka ovat r (napakoordinaatti) ja θ (kiertokulma, joskus esitetty merkillä φ). r kuvaa pisteen etäisyyttä navasta, ja θ kuvaa napa-akselin (vastaa karteesisen koordinaatiston positiivista x-akselia) ja pisteen välistä kulmaa.

Esimerkiksi napakoordinaatiston piste (3, 60°) voidaan piirtää kolmen yksikön päähän navasta 60° säteen kohdalle. Piste (-3, 240°) piirretään samaan pisteeseen, sillä negatiivinen etäisyys vastaa positiivista etäisyyttä vastakkaisella säteellä.

Napakoordinaatistossa voidaan yhdelle pisteelle antaa numeroituvasti ääretön määrä eri koordinaatteja, koska navan ympäri voidaan tehdä kokonaisia kierroksia ilman, että pisteen sijainti muuttuu. Yleisesti, piste (r, θ) voidaan esittää muodossa (r, θ ± n×360°) tai (−r, θ ± (2n + 1)180°), missä n on mielivaltainen kokonaisluku.

Mielivaltaisia koordinaatteja (0, θ) käytetään yleensä esittämään napaa, sillä θ-koordinaatin arvosta huolimatta piste, jonka r=0, sijaitsee aina navassa. Kulmat voidaan napakoordinaatistossa esittää vapaasti joko asteina tai radiaaneina, käyttäen muunnoskaavaa 2π rad = 360°. Valinta riippuu usein lähinnä asiayhteydestä, sillä esimerkiksi navigoinnissa käytetään usein asteita, kun taas monet fysiikan sovellukset ja lähes kaikki matemaattinen kirjallisuus käyttävät radiaaneja.

Koordinaatistomuunnokset

Napakoordinaattien ja karteesisten koordinaattien välistä suhdetta esittävä kuvaaja.

Napakoordinaatit r ja θ voidaan muuntaa karteesisiksi koordinaateiksi x ja y käyttämällä trigonometrisiä funktioita sini ja kosini.

$x=r\cos \theta \,$

$y=r\sin \theta ,\,$

Karteesiset koordinaatit x ja y voidaan muuntaa napakoordinaatiksi r Pythagoraan lauseella: $r^{2}=y^{2}+x^{2}\,$

Kiertokulman θ määrittämiseksi tulee ottaa huomioon seuraavat ehdot:

• Kun r = 0, θ voi saada minkä tahansa reaalisen arvon.
• Kun r ≠ 0, θ tulee saada arvoja väliltä [0, 2π]

θ:n saamiseksi väliltä [0, 2π[ voidaan käyttää seuraavia kaavoja (arctan on tangentin käänteisfunktio):

$\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{jos }}x>0{\mbox{ ja }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{jos }}x>0{\mbox{ ja }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{jos }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jos }}x=0{\mbox{ ja }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{jos }}x=0{\mbox{ ja }}y<0\end{cases}}$

θ:n saamiseksi väliltä ]-π, π], voidaan käyttää seuraavaa:

$\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{jos }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{jos }}x<0{\mbox{ ja }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{jos }}x<0{\mbox{ ja }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jos }}x=0{\mbox{ ja }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{jos }}x=0{\mbox{ ja }}y<0\end{cases}}$

Yhtälöitä napakoordinaatistossa

Napayhtälöksi kutsutaan algebrallisen käyrän napakoordinaatistossa määrittävää yhtälöä. Monissa tapauksissa yhtälö voidaan määrittää yksinkertaisesti määrittämällä r θ:n funktiona.

Monet käyrät voidaan ilmaista suhteellisen yksinkertaisina napayhtälöinä, vaikka niiden karteesinen muoto olisikin huomattavasti monimutkaisempi.

Ympyrä

Ympyrä, jonka yhtälö on $r$(θ) = 1

Yleinen yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on (r₀, φ) ja säde a, on

$r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}.\,$

Yhtälöä voidaan tietyissä erityistapauksissa yksinkertaistaa, kuten keskipisteen ollesssa navassa ja säteen ollessa a:

$r(\theta )=a\,$

Suora

Säteittäisiä eli navan kautta kulkevia suoria kuvaa yhtälö

$\theta =\varphi \,$,

missä φ kuvaa suoran jyrkkyyttä, joka saadaan kaavalla φ = arctan k, missä k on suoran kulmakerroin karteesisessa koordinaatistossa. Ei-säteittäiselle suoralle, joka leikkaa kohtisuorasti säteittäisen suoran θ = φ pisteessä (r₀, φ) pätee yhtälö

$r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi ).\,$

Ruusukäyrä

Ruusukäyrä, jonka yhtälö on $r$(θ) = 2 sin 4θ

Ruusukäyrä on kuuluisa kukalta näyttävä käyrä, joka voidaan ilmaista yksinkertaisella napakoordinaatiston yhtälöllä

$r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi _{0})\,$

mille tahansa vakiolle φ₀ sisältäen 0:n. Ruusukäyrän yhtälöt tuottavat ”k”-terälehtisen ruusun, jos ”k” on pariton kokonaisluku, ja 2”k”-terälehtisen ruusun, jos ”k” on parillinen kokonaisluku. Jos ”k” on rationaaliluku, muttei kokonaisluku, ruusun kaltainen käyrä saattaa muodostua, mutta terälehdet saattavat asettua päällekäin. Huomioitavaa on, ettei yhtälöä 2, 6, 10, 14 jne. –terälehtiselle ruusulle voida määrittää. Muuttuja ”a” kuvaa ruusun terälehtien pituutta.

Arkimedeen spiraali

Eräs Arkimedeen spiraalin haara, jonka yhtälö on r(θ) = θ for 0 < θ < 6π

Arkimedeen spiraali on kuuluisa Arkimedeen keksimä kuvio, joka voidaan kuvata myös yksinkertaisella napakoordinaatiston yhtälöllä.

$r(\theta )=a+b\theta .\,$

Muuttujan “a” arvon muuttaminen kääntää spiraalia, ja “b”:n arvon muuttaminen muuttaa spiraalin haarojen välimatkaa. Muuttujien arvot ovat vakiot tietylle spiraalille. Arkimedeen spiraalilla on kaksi haaraa, toinen arvoille θ > 0, ja toinen arvoille θ < 0. Haarat yhdistyvät napapisteessä.

Kartioleikkaukset

Ellipsi

Kartioleikkaus jonka toinen polttopiste on navalla ja toinen 0° säteellä saadaan yhtälöstä

$r={\ell \over {1+e\cos \theta }}$

jossa “e” on eksentrisyys ja $\ell$ on pystysuora etäisyys polttopisteestä kehälle. Jos ”e” > 1, yhtälö määrittelee hyperbelin; jos e = 1, se määrittelee paraabelin; jos ”e” < 1, se määrittelee ellipsin. Edellisen erikoistapauksessa, kun ”e” = 0, yhtälö määrittelee $\ell$-säteisen ympyrän.

Kompleksiluvut

Kompleksiluku z piirrettynä kompleksitasolle

Kompleksiluku z piirrettynä kompleksitasolle käyttäen Eulerin kaavaa

Jokainen kompleksiluku voidaan esittää kompleksitason pisteenä, ja siten voidaan esittää joko pisteen karteesisen koordinaatiston koordinaatit tai pisteen napakoordinaatiston koordinaatit. Kompleksiluku ”z” voidaan esittää karteesisessa koordinaatistossa muodossa

$z=x+iy\,$

missä “i” on imaginääriyksikkö, tai vaihtoehtoisesti napakoordinaatiston muodossa muodossa

$z=r\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )$

ja edelleen muodossa

$z=re^{i\theta }\,$

missä ”e” on Neperin luku, kuten Eulerin kaavat osoittavat. (On huomioitava, että kulma θ ilmoitetaan radiaaneissa.)

Kompleksilukujen kerto- ja jakolasku sekä potenssiin korottaminen onnistuu huomattavasti helpommin napakoordinaatistomuotoisilla kompleksiluvuilla kuin normaalimuodossa olevilla.