Nilpotentti matriisi

Nilpotentti matriisi on sellainen n×n-neliömatriisi, että jollakin kokonaisluvulla q

$A^{q}=O\,$,

missä $O$ on nollamatriisi. Esimerkiksi matriisi

$N={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.$

on nilpotentti, sillä $N^{4}=O$.

Ominaisuuksia

Nilpotentilla n×n-matriisilla M on seuraavat ominaisuudet:

1. Pienin kokonaisluku q, jolla $M^{q}=O$ on pienempi tai yhtä suuri kuin n.
2. Matriisi M on nilpotentti jos ja vain jos sen kaikki ominaisarvot ovat nollia.
3. Matriisin M karakteristinen polynomi on $\lambda ^{n}$.
4. Sekä matriisin M jälki että sen determinantti ovat nollia.

Lisäksi

• Jokainen kolmiomatriisi, jonka päälävistäjän alkiot ovat nollia on nilpotentti.

Katso myös

• Idempotentti matriisi