Karakteristinen polynomi

Karakteristinen polynomi on neliömatriiseihin liittyvä käsite. Tämä polynomi sisältää useita matriisiin liittyviä ominaisuuksia, huomattavampina matriisin ominaisarvot, determinantti sekä jälki.

LähtökohtaMuokkaa

Annetulle neliömatriisille   on löydettävä polynomi, jonka juuret ovat  :n ominaisarvot.

PäädiagonaalimatriisiMuokkaa

Päädiagonaalimatriisille eli lävistäjämatriisille   karakteristinen polynomi on helppo määritellä: jos lävistäjäalkiot ovat muotoa  , missä  , niin karakteristinen polynomi on muotoa

 

Tämä siksi, että lävistäjäalkiot ovat matriisin ominaisarvot.

Yleinen tapausMuokkaa

Yleisen  -neliömatriisin   tapauksessa voidaan menetellä seuraavasti. Kerroinkunnan alkio (luku)   on matriisin   ominaisarvo, jos ja vain jos on olemassa sellainen vektori (ominaisvektori)  , että

 ,

eli

 ,

missä   on yksikkömatriisi. Koska vektori   on nollasta eroava, on matriisin   oltava singulaarinen, jolloin sen determinantti on  . Tämän determinantista saadun polynomin   juuret ovat  :n ominaisarvoja.

Ominaisarvot löydetään siis polynomiyhtälön

 

ratkaisuina.

Koska funktio on polynomifunktio, on vaadittu karakteristinen polynomi löydetty.

Formaali määritelmäMuokkaa

Olkoon   kunta ja    -kertoiminen   -matriisi. Matriisin   karakteristinen polynomi   on määritelmän mukaan

 ,

missä   on   yksikkömatriisi. Tämä on todellakin polynomi, sillä determinantti on määritelty summaksi matriisin alkioiden tuloista. Toisinaan määritellään karakteristinen polynomi kaavalla  . Tästä saadaan alkuperäinen määritelmä kertomalla polynomi luvulla  .

EsimerkkiMuokkaa

Lasketaan matriisin

 

karakteristinen polynomi. Tällöin on laskettava seuraavan matriisin determinantti:

 

Tämä determinantti on

 

Tämä on  :n karakteristinen polynomi, missä   on matriisin ominaisarvo.

KirjallisuuttaMuokkaa