Eisensteinin kokonaisluku

Matematiikassa Eisensteinin luvut ovat Gotthold Eisensteinin mukaan nimetyt kompleksiluvut, jotka ovat muotoa

Eisensteinin kokonaisluvut muodostavat kolmiohilan.

missä a ja b ovat kokonaislukuja ja

on ykkösen kuutiojuuri. Eisensteinin luvut muodostavat kompleksitasoon kolmiohilan toisin kuin Gaussin kokonaisluvut, jotka muodostavat neliöhilan.

OminaisuuksiaMuokkaa

Eisensteinin kokonaisluvut muostavat algebrallisen lukukunnan kommutatiivisen renkaan Q(ω). Eisensteinin kokonaisluvut ovat algebrallisia kokonaislukuja, sillä z = a + bω on pääpolynomin

 

juuri. Erityisesti ω toteuttaa yhtälön

 

Eisensteinin kokonaisluvun normi on sen itseisarvon neliö, eli

 

Siten Eisensteinin kokonaisluvun normi on kokonaisluku. Koska

 

on nollasta poikkeavan Eisensteinin kokonaisluvun normi positiivinen.

Eisensteinin kokonaislukujen muodostaman renkaan yksikköryhmä on syklinen ja sen virittää ykkösen kuudesjuuri. Ryhmä on muotoa

{±1, ±ω, ±ω2}

Nämä ovat ne Eisensteinin kokonaisluvut, joiden normi on 1.