Gamma-matriisit

(Ohjattu sivulta Diracin matriisi)

Matemaattisessa fysiikassa, gamma-matriisit, {γ0, γ1, γ2, γ3}, eli Diracin matriisit muodostavat matriisiarvoisen esityksen joukolle ortogonaalisia kantavektoreita aika-avaruuden kontravariantteja vektoreita varten. Cliffordin algebra saadaan näistä.

Näistä muodostetaan myös spinorit, jotka esittävät rotaatioita ja Lorentz-puskuja.

Diracin kannassa neljä kontravarianttia gamma-matriisia on[1]

Matemaattinen rakenne muokkaa

Gamma-matriisit määrittelevä ominaisuus on Cliffordin algebra eli antikommutaatiorelaatio

 

missä   on Minkowskin metriikka jossa on käytetty merkkisopimusta (+ − − −) ja   on yksikkömatriisi.

Tätä määrittelevää ominaisuutta pidetään enemmän fundamentaalina kuin numeerisia gamma-matriiseja, joten metriikan eri merkkisopimukset (+ − − −), (− + + +) muuttavat gamma-matriisien määritelmää.

Kovariantit gamma-matriisit määritellään

 ,

jossa on käytetty Einsteinin summaussääntöä.

Määritelmä ei määrää yksikäsitteisesti gamma-matriiseja.

Historiaa muokkaa

Paul Dirac löysi gammamatriisit koettaessaan löytää kvanttimekaanista liikeyhtälöä, joka kuvaa spin-1/2 hiukkasia. Klein ja Gordon olivat yrittäneet tätä jo 1926, jolloin he tekivät Schrödingerin tapaan operaattorisijoituksen   ja   dispersiorelaatioon

 

Tuloksena ollut Kleinin-Gordonin yhtälö ei antanut positiividefiniittiä todennäköisyystiheyttä ja ennusti väärät energiatasot vetyatomille. Ongelma perustuu toisen kertaluvun derivaattoihin. Ottamalla ensin dispersiorelaatiosta neliöjuuri ja vasta sen jälkeen sijoittamalla saadaan neliöjuuren alla oleva operaattori, minkä käsittely aiheuttaa vaikeuksia.

Dirac linearisoi operaattorineliöjuuren olettamalla, että

 

missä   on kolmekomponenttinen vektori. Korottamalla yrite toiseen tulisi saada dispersiorelaatio ja samalla ehtoja tekijöille   ja  . Ehdot ovat

 
 
 

missä ij. Näitä ehtoja eivät täytä yhtäaikaa mitkään kompleksiluvut. Dirac huomasi, että tietyt matriisit toteuttavat annetut ehdot. Pienimmät annetut ehdot toteuttavat matriisit ovat 4x4-matriiseja. Nykymerkinnöin   ja  , missä  .

Diracin yhtälö muokkaa

Luonnollisessa yksikköjärjestelmässä Diracin yhtälö voidaan ilmaista muodossa

 

missä   on nelikomponenttinen Dirac-spinori. Jos   olisi nelivektori, se osoittaisi johonkin aika-avaruuden suuntaan ja Diracin yhtälö ei olisi Lorentz-invariantti.

Feynmanin sivallusmerkintä määritellään

 

Diracin yhtälö on tämän avulla ilmaistuna

 

Käyttämällä operaattoria   molemmin puolin, saadaan

 

eli Kleinin-Gordonin yhtälö. Kuten merkinnästä voi päätellä, Diracin yhtälöä noudattavan hiukkasen massa on m.

Viides gamma-matriisi muokkaa

On hyödyllistä muodostaa viides gamma-matriisi neljän gamma-matriisin tulona seuraavalla tavalla:

  (Diracin kannassa)

Vaikka   käyttää gamma-kirjainta, sitä ei pidetä määritelmän mukaisena gamma-matriisina. Yläindeksi 5 on jäänne ajasta, jolloin   oli  .

  voidaan ilmaista vaihtoehtoisesti myös seuraavassa muodossa:

 

Tässä   on neliulotteinen yleistys Levi-Civita-symbolille. Viides gamma-matriisi on hyödyllinen käsiteltäessä hiukkasten kätisyyttä eli kiraalisuutta hiukkasfysiikassa. Esimerkiksi Diracin kentän voi projisoida vasen- (L) ja oikeakätisiksi (R) seuraavasti:

 .

Matriisilla on seuraavat ominaisuudet:

 
 
  • Antikommutointi gamma-matriisien kanssa:
 

Matemaattisia identiteettejä muokkaa

Seuraavat gamma-matriiseja koskevat laskusäännöt seuraavat suoraan matriisit määrittelevästä antikommutaatiorelaatiosta, joten ne pätevät missä tahansa kannassa.

Sekalaisia laskusääntöjä muokkaa

Nro Laskusääntö
1  
2  
3  
4  
5  

Jälkien laskusääntöjä muokkaa

Nro Laskusääntö
0  
1 Tulon, jossa on pariton määrä gamma-matriiseja, jälki on 0
2 Tulon, jossa on   kerrottuna parittomalla määrällä gamma-matriiseja, jälki on 0
3  
4  
5  
6  
7  

Ylläolevien laskusääntöjen todistaminen vaatii kolmen lineaarialgebrasta tutun laskusäännön käyttämistä:

  • tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
  • tr(rA) = r tr(A)
  • tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)

missä A, B ja C ovat matriiseja ja r on skalaari.

Feynmanin sivallusmerkintä muokkaa

Kvanttikenttäteoriassa usein esiintyvä gamma-matriisin ja nelikomponenttisen vektorin yhdistelmä lyhennetään jättämällä gamma-matriisi merkitsemättä ja piirtämällä kenoviiva vektorin päälle:

 

Sivallusmerkintään liittyviä laskusääntöjä:

 
 
 
 
 
 
 
 
missä
  on neliulotteinen Levi-Civita-symboli ja  

Muut kannat muokkaa

Gamma-matriisit kirjoitetaan joskus blokkidiagonaalimuodossa käyttäen 2x2-yksikkömatriisia,  , ja määrittelemällä

 

missä k on kokonaisluku yhden ja kolmen väliltä ja σk ovat Paulin matriiseja.

Diracin kanta muokkaa

Tässä artikkelissa gamma-matriisit on kirjoitettu Diracin kannassa:

 

Weylin kanta muokkaa

Toinen yleisessä käytössä oleva kanta on Weylin kanta, missä   pysyvät samoina, mutta   on erilainen, jolloin   on myös erilainen:

 

Weylin kanta on hyödyllinen, koska hiukkasfysiikassa kiraaliset kentät saavat siinä yksinkertaisen muodon:

 

Erityisesti voidaan päätellä

 

missä   ja   ovat vasen- (L) ja oikeakätiset (R) kaksikomponenttiset Weylin spinorit.

Toinen mahdollinen määritelmä[2] Weylin kannalle on

 

Tällöin kiraaliset kentät saavat hiukan eri muodon:

 

Toisin sanoen:

 

missä   ja   ovat vasen- ja oikeakätiset kaksikomponenttiset Weylin spinorit, kuten edellä.

Majoranan kanta muokkaa

On olemassa myös Majoranan kanta, missä kaikki Diracin matriisit ovat imaginaarisia mutta spinorit ja Diracin yhtälö ovat reaalisia. Paulin matriisien avulla sen voi ilmaista seuraavasti:

 
 

Lähteet muokkaa

  1. Iliev, Bozhidar Z.: ”2”, Lagrangian Quantum Field Theory in Momentum Picture, s. 83. Nova Publishers, 2008. ISBN 9781604561708. Google book. (englanniksi)
  2. Kaku, Michio: Quantum Field Theory, ISBN 0-19-509158-2, appendix A
 
Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Gamma matrices