Brittiläinen lippulause

Brittiläinen lippulause on Euklidisen geometrian lause. Lauseen mukaan, kun valitaan piste P suorakulmion ABCD sisältä, pisteen P ja suorakulmion vastakkaisten kulmien välisten etäisyyksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin toisen kahden suorakulmion vastakkaisen kulman ja pisteen P välisten etäisyyksien neliöiden summa.

Brittiläisen lippulauseen mukaan punaisten neliöiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin sinisten neliöiden pinta-alojen summa.

Yhtälönä siis:

$AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.\,$

Lause pätee myös suorakulmion ulkopuolisiin pisteisiin, ja vielä yleisemmin Euklidisessa avaruudessa olevan pisteen etäisyyksiin avaruudessa olevan suorakulmion kulmiin. Tällöin todistus on vaikeampi havainnollistaa.

Todistus

Todistuksen kuva

Piirretään pisteestä P suorakulmion sivujen AB, BC, CD ja AD kanssa kohtisuorassa olevat suorat. Merkitään suorakulmion sivuja leikkaavat kohdat pisteillä w, x, y ja z, vieressä olevaa kuvaa vastaavilla tavoilla. Huomataan, että muodostuu suorakulmainen kolmio AwP, ja wP = Az.

Nyt Pythagoraan lauseen mukaan,

• $AP^{2}=Aw^{2}+wP^{2}=Aw^{2}+Az^{2}$

Näin voimme laskea pisteen P ja suorakulmion kolmen muun kulman välisten etäisyyksien neliöt:

• $PC^{2}=wB^{2}+zD^{2},$
• $BP^{2}=wB^{2}+Az^{2},$ ja
• $PD^{2}=zD^{2}+Aw^{2}.$

Täten:

$AP^{2}+PC^{2}=(Aw^{2}+Az^{2})+(wB^{2}+zD^{2})=(wB^{2}+Az^{2})+(zD^{2}+Aw^{2})=BP^{2}+PD^{2}.\,$

Nimi

Yhdistyneen kuningaskunnan lippu.

Lauseen nimi tulee siitä, kun piirretään pisteestä P viivat suorakulmion kulmiin sekä todistuksessa käytettävät suorakulmion sivujen kanssa kohtisuorat viivat, lopputulos muistuttaa joidenkin mielestä Yhdistyneen kuningaskunnan lippua.