Verranto on matemaattinen yhtälö, jossa kaksi kahden suureen suhdetta on merkitty yhtä suuriksi. Jos suureita merkitään kirjaimilla A, B, C ja D, kirjoitetaan verranto joko kaksoispisteillä

tai jakoviivoilla

Molemmat verrannon kirjoitusmuodot luetaan "A:n suhde B:hen on yhtä suuri kuin C:n suhde D:hen" tai vaihtoehtoisesti "A suhtautuu B:hen kuten C suhtautuu D:hen". Kun verrannossa olevat suureet liittyvät verrannollisuuteen, sanotaan "suureiden A ja B olevan verrannolliset suureisiin C ja D". Erotuksena muista verrannollisuuden lajeista tätä kutsutaan myös suoraan verrannollisuudeksi.[1][2][3]

Suureita A, B, C ja D kutsutaan verrannon ensimmäiseksi, toiseksi, kolmanneksi ja neljänneksi jäseneksi. Ensimmäinen ja neljäs jäsen ovat verrannon äärimmäiset jäsenet, ja toinen ja kolmas jäsen sen keskimmäiset jäsenet.[1]

Suureiden verrannolliset suhteet verrannoksiMuokkaa

Kahden samanlaatuisen (samat mittayksiköt) suureen A ja B suhde merkitään [4]

 

missä k on suhdeluku. Suhde esittää kahta eri tilannetta, jossa verrataan samaa laatua olevia suureita keskenään. Tällainen tilanne on esimerkiksi kahden pinta-alan välinen suhde

 

ja suhdeluku k = 1 : 2 = 0,5 on tällöin paljas luku, koska mittayksiköt supistuvat pois.[4]

Kahden erilaatuisen suureiden A ja B suhde merkitään samalla tavalla

 

missä k on mittayksiköllinen suure (suhdeluku). Esimerkiksi erään talon   suuruisen seinän maalaamiseen kuluu   maalia. Suhdeluvuksi saadaan

 

Saman talon toista seinää toisena päivänä maalatessa suureet C ja D ovat erilaiset. Nyt merkitään

 

missä k on edelleen sama, koska maalin kulutus on säilynyt samana. Suhdeluvut ovat samat, joten suureet A ja B sekä C ja D ovat verrannolliset (merkitään  ) ja merkitään suuren mitatuilla arvoilla

  ja  

tai suureiden muuttujilla

  ja  

tai suureiden nimillä

 

Matemaattisesti nämä kaksi suhdetta voidaan kirjoittaa verrantoyhtälöksi, koska suhdeluvut täsmäävät [1][5]

 

Johdetut verrannotMuokkaa

Jos verrantoa

 

halutaan muuntaa, saadaan esimerkiksi seuraavia uusia verrantoja (suureet eivät ole nollia) [6]:

  • Kääntämällä:   (käänteisluvut ovat yhtä suuret)
  • Vuorottamalla:   (kaikki suureet tulisivat olla samanlaatuisia)
  • Yhdistämällä:   tai   (molemmille puolille lisätään luku 1)
  • Erottamalla:   tai   (molemmilta puolilta vähennetään luku 1)

Ratkaistaan suureMuokkaa

Verranto

 

on voimassa, jos ja vain jos sen äärimmäisten ja keskimmäisten jäsenen tulot AD ja BC ovat yhtä suuret eli

 [6]

eikä kumpikaan luvuista B ja D ole nolla. Tämä voidaan osoittaa kertomalla (eli laventamalla) verannon molemmat puolet luvulla BD. Tällaista verrannon muuntamista tulojen väliseksi yhtälöksi sanotaan ristiin kertomiseksi. Tästä voidaan edelleen ratkaista yksi suure muiden avulla seuraavasti:[6]

  tai   tai   tai  

Keskiverto, kolmas verto ja neljäs vertoMuokkaa

Jos on voimassa verranto

 

jossa siis molemmat keskimmäiset jäsenet ovat yhtä suuret, sanotaan, että B on lukujen A ja C keskiverto, ja C on lukujen A ja B kolmas verto.[7] Jos taas on voimassa verranto

 ,

jossa siis keskimmäiset jäsenet eivät välttämättä ole yhtä suuret, sanotaan, että luku D on lukujen A, B ja C neljäs verto.[7]

Katso myösMuokkaa

LähteetMuokkaa

ViitteetMuokkaa

  1. a b c Väisälä KalleGeometria, s. 49–53. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
  2. Weisstein, Eric W.: Directly Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b Weisstein, Eric W.: Inversely Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. a b Weisstein, Eric W.: Ratio (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. a b c Väisälä KalleGeometria, s. 97–99. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
  7. a b ”Verranto”, Otavan iso Fokus, 7. osa (Sv–Öö), s. 4510. Otava, 1974. ISBN 951-1-01521-4.

Aiheesta muuallaMuokkaa