Todennäköisyyden aksioomat

Todennäköisyysteoriassa tapahtuman A todennäköisyys $P(A)$ määritellään yleensä siten, että todennäköisyys P toteuttaa Kolmogorovin aksioomat, jotka ovat saaneet nimensä venäläisen matemaatikon Andrei Kolmogorovin mukaan.

Olkoon kolmikko (Ω, F, P) mitta-avaruus. (Ω, F, P) on todennäköisyysavaruus, jos perusjoukko Ω on epätyhjä joukko, kokoelma F perusjoukon osajoukkoja on sigma-algebra ja todennäköisyys $P:F\rightarrow \mathbb {R}$ on mitta ja toteuttaa seuraavat todennäköisyyden aksioomat.

Ensimmäinen aksiooma

Tapahtuman todennäköisyys on positiivinen reaaliluku, tai nolla:

$P(A)\in \mathbb {R} \land P(A)\geq 0\qquad \forall A\in F$

missä $F$ on tapahtumien joukko ja $A$ jokin tapahtuma joukossa $F$.

Toinen aksiooma

Koko perusjoukon todennäköisyys on yksi:

$P(\Omega )=1$.

Kolmas aksiooma

Tätä ehtoa kutsutaan usein täysadditiivisuudeksi tai $\sigma$-additiivisuudeksi:

Jos tapahtumat $A_{1},A_{2},...A_{n}$ ovat pistevieraita (ts. erillisiä), niin niiden yhdisteen todennäköisyys on niiden todennäköisyyksien summa:

$P(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}).$.

Seurauksia

Aksioomista voidaan johtaa kaikki muut todennäköisyyden laskusäännöt, joista seuraavassa muutamia esimerkkejä.

Monotonisuus

$P(A)\leq P(B)\quad \forall A,B\in F,\quad A\subseteq B.$

Tyhjän joukon todennäköisyys

$P(\emptyset )=0.$

Todennäköisyys on normeerattu mitta

$0\leq P(A)\leq 1\qquad \forall A\in F.$

Todistukset

Monotonisuus ja tyhjän joukon todennäköisyys

Määritellään $E_{1}=A$ ja $E_{2}=B\backslash A$, missä $\quad A\subseteq B{\text{ ja }}E_{i}=\emptyset$ kaikilla $i\geq 3$. On helposti nähtävissä, että joukot $E_{i}$ ovat pistevieraita ja $E_{1}\cup E_{2}\cup \ldots =B$. Siten kolmannesta aksioomasta saamme

$P(A)+P(B\backslash A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(\emptyset )=P(B).$

Yhtälön vasen puoli muodostuu epänegatiivisista luvuista, joiden summa on $P(B)$, joka on äärellinen. Tästä seuraa suoraan monotonisuus $P(A)\leq P(B)$. Tyhjän joukon todennäköisyys $P(\emptyset )=0$ voidaan todistaa asettamalla lisäksi vastaväite: jos $P(\emptyset )=a$ niin yhtälön vasen puoli saa vähintään arvon

$\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=\sum _{i=3}^{\infty }P(\emptyset )=\sum _{i=3}^{\infty }a={\begin{cases}0&{\text{jos }}a=0,\\\infty &{\text{jos }}a>0.\end{cases}}$

Jos $a>0$, saadaan ristiriita, sillä tällöin yhtälön vasen puoli olisi ääretön, eikä $P(B)$, joka on äärellinen. Siis $a=0$ ja $P(\emptyset )=0$.

Todennäköisyys on normeerattu mitta

Ensimmäisen aksiooman nojalla

$P(A)\geq 0$ ja $P(A^{c})=1-P(A)\geq 0$, mikä sisältää väitteen.

Kirjallisuutta

• Pekka Tuominen: Todennäköisyyslaskenta I. Limes ry (2007).
• Kolmogorov: Foundations of the Theory of Probability, (1933).