Liouvillen lause

Liouvillen lause on funktioteorian lause, jonka mukaan jokainen koko kompleksitasossa määritelty rajoitettu analyyttinen funktio on vakio. Toisin sanoen, jos f on analyyttinen funktio ja on olemassa sellainen positiivinen luku M, että kaikille kompleksiluvuille z pätee

|f(z)| ≤ M

niin f on vakio. Lause on saanut nimensä Joseph Liouvillen mukaan.

Liouvillen lause on sukua Picardin lauseelle, jonka mukaan koko kompleksitasossa määritelty analyyttinen funktio on vakio, jos on olemassa ainakin kaksi kompleksilukua, joita funktio ei saa arvoikseen millään argumentin arvolla.

Todistus

Lauseen todistus perustuu siihen kompleksifunktioiden ominaisuuteen, että jos funktiolla on jollakin alueella derivaatta, se on analyyttinen ja voidaan esittää Taylorin sarjana:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}$

missä Cauchyn integraalikaavan mukaan on

$a_{k}={\frac {f^{(k)}}{k!}}={1 \over 2\pi i}\oint _{C_{r}}{f(\zeta ) \over \zeta ^{k+1}}\,d\zeta$

ja C_r on origokeskeinen r-säteinen kiekko (r > 0). Tästä saadaan suoraan:

$|a_{k}|\leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {|f(\zeta )|}{|\zeta ^{k+1}|}}\,d\zeta \leq {\frac {1}{2\pi }}\oint _{C_{r}}{\frac {M}{r^{k+1}}}\,d\zeta \leq {\frac {M}{r^{k}}},$

missä jälkimmäisessä epäyhtälössä on oletettu, että |f(z)| ≤ M kaikilla z. Tässä luku r voi olla mikä tahansa positiivinen luku. Jos sen annetaan kasvaa mielivaltaiseksi, saadaan

a_k = 0

kaikille k ≥ 1. Näin ollen f(z) = a₀ kaikilla zn arvoilla, joten se on vakio, mikä oli todistettava.

Seurauksia

Algebran peruslause

Algebran peruslauseen mukaan jokaisella polynomilla, joka ei ole vakio, on kompleksilukujen joukossa ainakin yksi nollakohta. Lauseen oli Karl Friedrich Gauss todistanut puhtaasti algebrallisin keinoin jo kauan ennen Liouvillea, mutta se seuraa suoraan myös Liouvillen lauseesta.

Jokainen polynomi p(z) nimittäin on analyyttinen funktio. Jos p(z):llä ei ole nollakohtaa, on 1/p(z) määritelty kaikilla kompleksiarvoilla z ja sekin on analyyttinen funktio. Koska p(z) ei ole missään nolla, voidaan todistaa, että sen itseisarvo |p(z)| saa jossakin pienimmän ja 1/|p(z)| vastaavasti suurimman arvonsa. Näin ollen 1/p(z) on rajoitettu ja näin ollen Liouvillen lauseen mukaan vakio, mistä seuraa, että myös p(z) on vakio.