Ero sivun ”Analyysin peruslause” versioiden välillä
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p Botti lisäsi: ur:حسابان کا بنیادی قضیہ |
|||
Rivi 3:
== Analyysin ensimmäinen peruslause ==
Jos <math>f</math> on välillä <math>[a,b]</math> jatkuva funktio ja <math>F</math> jokin sen integraalifunktio, niin F on derivoituva ja pätee:
Lause voidaan kirjoittaa myös muodossa
== Analyysin toinen peruslause ==
Olkoot <math>F_1</math> ja <math>F_2</math> funktion <math>f</math> primitiivejä. Tällöin löytyy vakio <math>c</math> siten, että
== Geometrinen tarkastelu ==
[[Tiedosto:integration_geometric.svg|thumb|right|320px|Punaisella funktio f alue pisteeseen x asti. Sininen ja punainen alue yhdessä vastaa f:n aluetta x+h asti.]]
Merkitään kuvasta funktion <math>f</math> alueen kokoa funktiolla <math>A</math>. Olkoon sinisen alueen leveys <math>h</math>. Kun h on pieni saadaan arvio siniselle alueelle:
:<math>A \approx h \cdot f(x)</math>
Toisaalta sininen alue on <math>A(x + h) - A(x)</math>. Yhdistämällä saadaan:
:<math>
\begin{align}
h \cdot f(x) & \approx A(x + h) - A(x) \\
f(x) & \approx \frac{A(x + h) - A(x)}{h}
\end{align}
</math>
Siis <math>f</math> on pinta-ala funktion derivaatta, kun väli <math>h</math> lähestyy nollaa.
:<math>
\begin{align}
f(x) &= \frac{d}{dx}A = \lim_{h \to 0} \frac{A(x + h) - A(x)}{h}
\end{align}
</math>
Tästä seuraa, että derivoinnin käänteisoperaatiolla funktiosta <math>f</math> saadaan funktio <math>A</math>.
▲<center><math>F_1(x) = F_2(x) + c</math> kaikille x.</center>
== Aiheesta muualla ==
| |||