Alexander Grothendieck

Alexander Grothendieckin (Syntynyt 28. maaliskuuta 1928 Berliinissä, Saksassa) on sanottu olevan yksi suurimmista 1900-luvun matemaatikoista.

Hänet tunnetaan parhaiten algebrallisen geometrian tuloksistaan, mutta hän on tehnyt myös merkittäviä tuloksia algebrallisessa topologiassa, lukuteoriassa, kategoriateoriassa, Galois'n teoriassa, kommutatiivisessa homologisessa algebrassa ja funktionaalianalyysissä. Hän sai Fieldsin mitalin vuonna 1966 ja Crafoordin palkinnon Pierre Delignen kanssa vuonna 1988. Hän kieltäytyi jälkimmäisestä palkinnosta etnisiin syihin vedoten. Hän ilmoitti kieltäytymisestään kirjoittamalla medialla avoimen kirjeen.

Hän on tunnettu abstrakteista lähestymistavoista ongelmiin sekä perfektionismistä matemaattisen tekstin muotoilussa ja esittämisessä. Erityisesti hänet tunnetaan kyvystä löytää tuloksia hyvin yleisillä menetelmillä.

Melko vähäinen osa hänen tuotannosta vuoden 1960 jälkeen on julkaistu tavanomaisella tavalla matemaattisissa julkaisuissa. Yleisemmin tulokset ovat esiintyneet luentomuistiinpanojen kopioissa. Hänen vaikutus on huomattava henkilökohtaisesti ja Zariskin koulukunnalle Harvardin yliopistossa. Hän on monien tarinoiden ja väärien huhujen kohde. Huhut koskevat hänen työskentelytapoja, politiikkaa, yhteenottoja toisten matemaatikoiden ja Ranskan viranomaisia, hänen vetäytymistään matematiikan parista 42 ikävuoden jälkeen, eläkkeelle jäämistä ja hänen pitkiä kirjoituksia.

Matemaattiset saavutukset

Grothendieck tutki funktionaalianalyysiä vuosina 1949–1953 kirjoittamalla tältä alalta väitöskirjan Nancyssä. Väitöskirjan ohjaajina toimivat Jean Dieudonné ja Laurent Schwartz. Hän tutki enimmäkseen vektoriavaruuksien topologisia tensorituloja, ydinavaruuksien teoriaa ja miten Lp-avaruuksia voidaan käyttää topologisten vektoriavaruuksien lineaarikuvausten tutkimisessa. Muutamassa vuodessa hänestä oli tullut topologisten vektoriavaruuksien johtava asiantuntija. Diudonné vertasi hänen vaikutustaan tällä alalla Banachiin.

Grothendieck sai kuitenkin tärkeimmät tuloksensa algebrallisessa geometriassa ja siihen liittyvillä aloilla. Noin vuonna 1955 hän alkoi työskennellä lyhdeteorian ja homologisen algebran parissa, ja hän julkaisi nopeasti erittäin vaikutusvaltaisen "Tôhoku-artikkelin" (Sur quelques points d'algèbre homologique) vuonna 1957. Tässä artikkelissa Grothendieck esitteli Abelin kategoriat ja sovelsi sitä osoittamalla, että lyhdekohomologia voidaan määritellä tiettynä johdettuna funktorina Abelin kategorioiden yhteydessä.

Algebrallisessa geometriassa muun muassa Jean-Pierre Serre oli ottanut käyttöön homologiset metodit ja lyhdeteorian. Grothedieck tutki kyseisiä asioita pidemmälle ja alkoi tutkia algebrallista geometriaa näiden menetelmien avulla. Siten hän muutti algebrallisen geometrian tutkimusmenetelmät ja teki algebrallisesta geometriasta abstraktimpaa. Kun ennen algebrallisessa geometriassa tutkittiin yksittäisiä varistoja, niin Grothedieck alkoi tutki varistopareja ja niiden välisiä morfismeja, jolloin moni klassinen algebrallinen lause yleistyi.Ensimmäinen suuri sovellus uudesta menetelmästä oli Serren lause, jonka mukaan täydellisen variston koherentin lyhteen kohomologia on äärellisuloitteinen.Grothendieckin lause osoittaa, että korkeammat suorat kuva koherenteista lyhteistä sopivissa kuvauksissa ovat koheretteja. Serren lause on tästä pelkkä yhden pisteen erikoistapaus.

Vuonna 1956 hän sovelsi samanlaista lähestymistapaa Riemannin–Rochin lauseeseen, jonka Hirzebruch oli aiemmin yleistänyt mielivaltaiselle dimensiolle. Grothendieck esitteli Grothendieckin–Riemannin–Rochin lause Mathematische Arbeitstagungin alussa Bonnissa vuonna 1957. Lause esitettiin artikkelissa, jonka oli kirjoittanut Armand Borel yhdessä Serren kanssa. Tämä lause oli ensimmäinen suuri tulos algebrallisessa geometriassa. Tämän jälkeen hän jatkoi algebrallisen geometrian perusteiden uudistamista. Hän paljasti projektinsa ääriviivat puhuessaan kansainvälisessä matemaatikkokonferenssissa vuonna 1958.

Hänen lähestymistapansa algebralliseen geometriaan oli abstraktimpi kuin mikään edellinen tapa. Hän mukaili epäsuljettujen geneeristen pisteiden käyttöä, ja tämä johti skeemojen teoriaan. Hän oli myös ensimmäinen, joka käytti myös systemaattisesti nilpotentteja. Kuten funktiot, nilpotentit voidaan asettaa nollaksi, mutta ne kantavat mukanaan myös infinitesimaalista tietoa puhtaasti algebralliselta näkökannalta. Hänen skeemojen teoria on algebrallisessa geometriassa lyönyt itsensä läpi, koska se on niin ilmaisuvoimainen. Tämä mahdollistaa esimerkiksi birationaalisen geometrian, lukuteorian tekniikoiden, Galois'n teorian, kommutatiivisen algebran ja algebralliseen topologiaan liittyvien metodien käytön algebrallisessa geometriassa, ja näitä tekniikoita käytetään yleensä yhtä aikaa algebrallisessa geometriassa. Hänen vaikutuksensa näkyi myös monella muulla matematiikan osa-alueella, kuten D-modulien teoriassa.

EGA ja SGA

Suurin osa Grothendieckin julkaistuistä töistä on koottu valtaviin mutta silti epätäydellisiin teoksiin Éléments de géométrie algébrique (EGA) ja Séminaire de géométrie algébrique (SGA). Bourbakin seminaariesitelmistä koottu Fondements de la Géometrie Algébrique (FGA) sisältää myös Grothendieckin tärkeitä tuloksia.

Grothendieckin syvällisin yksittäinen tulos on kenties étalen- ja l-aditinen kohomologia. Nämä selittävät André Weilin havainnot, jonka mukaan variston topologisen karakteristikan ja sen lukuteoreettisten ominaisuuksien välillä on olemassa syvällinen yhteys. Esimerkiksi jos yhtälöä tutkkitaan äärellisessä kunnassa, niin sen ratkaisujen lukumäärä kuvaa sen topologista luonnetta kompleksilukujen suhteen. Weil ymmärsi, että todistaakseen tuloksen hän tarvitsisi uudenlaisen kohomologiateorian, mutta hän ja muut alan asiantuntijat eivät tähän kyenneet. Grothendieck kuitenkin löysi kyseisen teorian. Teoria kulminoituu Weilin otaksumien todistukseen, joista viimeisimmän ratkaisi Grothendieckin oppilas Pierre Deligne 1970-luvun alkupuolella sen jälkeen, kun Grothendieck oli jättänyt matematiikan aktiivisen tutkimisen.

Tärkeimmät matemaattiset aiheet (teoksesta Récoltes et Semailles)

Grothendieck kirjoitti arvioinnin matemaattisista töistään. Hän valitsi seuraavat 12 aihetta tähän teokseen La Vision, jotka on esitetty alla aikajärjestyksessä:

1. Topologiset tensoritulot ja ydinavaruudet
2. "Jatkuva" ja "diskreetti" duaalisuus (johdetut kategoria ja "kuusi operaatiota").
3. Yoga Grothendieckin–Riemannin–Rochin lausesta (K-teoria, samantapainen kuin leikkausten teoria).
4. Skeemat.
5. Topoi.
6. Étalen kohomologia sisältäen l-aditisen kohomologian.
7. Motiivit, motiivinen Galois'n ryhmä ja Grothendieckin kategoriat
8. Kristallit ja kristallinen kohomologia, De Rhamin ja Hodgen kertoimien yoga.
9. Topologinen algebra, ääretön-pinot, 'dérivateurs', toposien kohomologinen formali spi inspiraationa uudelle homotooppiselle algebra
10. Tame topologia.
11. anabelisen geometrian] Yoga ja Galois'n–Teichmüllerin teoria.
12. Sännöllisten monitahokkaiden ja säännöllisten konfiguraatioiden skemaattinen eli "aritmeettinen" näkökulma.

Hän kirjoitti, että hänen aiheiden teema oli topojen teoria, ja toisaalta yllä olevassa listassa ensimmäinen ja viimeisin oli hänelle vähiten tärkeitä.

Tässä yoga tarkoittaa eräänlaista "meta-teoriaa", jota voi käyttää heuristisesti.

Elämä

Perhe ja alkuvuodet

Alexander Grothendieck syntyi Berliinissä ja hänen vanhempansa olivat anarkisteja. Hänen isänsä oli venäläinen Alexander Shapiro aka Tanaroff ja äiti Johanna "Hanka" Grothendieck oli saksalaisesta protestattiperheestä. Molemmat vanhemmat olivat katkaisseet lapsuuden ystävyydet teini-iässä. Alexanderin syntymän aikaan Johanna oli naimisissa saksalaisen toimittajan Johannes Raddatz kanssa, ja Alexanderin syntymänimi oli alun perin Alexander Raddatz. Avioliitto purkautui vuonna 1929 ja Shapiro/Tanaroff vahvisti isyyden, mutta ei mennyt koskaan naimisiin Hanka Grothendieckin kanssa.

Grothendieck eli vanhempiensa kanssa vuoteen 1933 asti Berliinissä. Saman vuoden aikana Shapiro muutti Pariisiin ja Hanka muutti hänen perässä seuraavana vuonna. He jättivät Grothendieckin Wilhem Heydornin huostaan, joka oli luterilainen pastori ja opettaja Hampurissa. Hän kävi myös koulua Hampurissa. Tuohon aikaan Grothendieckin vanhemmat joutuivat ottamaan osaa Espanjan sisällissotaan.

Toisen maailmansodan aika

Vuonna 1939 Grothendieck saapui Ranskaan ja eli erilailla leirellä, jotka oli tarkoitettu kotoa karkoitetuille ihmisillä. Hän eli leireillä äitinsä kanssa. He elivät ensiksi Camp de Rieucrossa ja viettivät vuodet 1942–44 Le Chambon-sur-Lignonissa. Grothendieckin isä oli lähetetty Drancyyn Auschwitzin keskitysleirille, missä hän kuoli vuonna 1942.

Opinnot ja tutkijanuran alku

Sodan jälkeen nuori Grothendieck opiskeli matematiikkaa Montpellier'n yliopistossa Ranskassa. Hän päätti ruveta matematiikan opettajaksi, sillä hänelle kerrottiin, että matematiikan tutkimus saavuttaa päätepisteensä 1900-luvun alkupuolella ja tämän jälkeen matematiikassa ei ole enää avoimia ongelmia. Nuoren tutkijan kyvyt oli kuitenkin huomattu ja häntä rohkaistiin lähtemään Pariisiin vuonna 1948.

Aluksi Grothendieck osallistui Henri Cartanin seminaariin École Normale Supérieuressa, mutta koska hänellä ei olllut seminaaria seuratakseen tarvittavia esitietoja, hän siirtyi Nancyn yliopistoon, missä hän kirjoitti väitöskirjan Laurent Schwartzin ohjauksessa vuosina 1950–1952. Väitöskirja käsitteli funktionaalianalyysiä. Tuohon aikaan hän oli topologinen vektoriavaruus|topologisten vektoriavaruuksien]] johtava asiantuntija. Vuonna 1957 hän jätti kyseisen aiheen ja alkoi työskennellä algebrallisen geometrian ja homologisen algebran parissa.

Vuodet IHÉSissa

Asetuttuaan Institut des Hautes Études Scientifiquesiin (IHÉS) Grothendieck kiinnostui intensiivisestä ja tuotteliaista seminaareista (de facto ryhmä, jotka valmentaa kyvyikkäimmät ranskalaiset ja nuoret matemaatikot tutkijoiksi).