Taksiluku

Matematiikassa n:nnellä taksiluvulla, tavallisesti merkintänä Ta(n) tarkoitetaan pienintä kokonaislukua, joka on esitettävissä kahden positiivisen kokonaisluvun kuutioiden summana n:llä eri tavalla. G. H. Hardy ja E. M. Wright osoittivat vuonna 1954 että sellainen luku löytyy jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle n. Heidän todistuksensa on helposti muunnettavissa proseduuriksi, joka luo sellaisia lukuja. Tämä todistus ei kuitenkaan osoita, että kyseiset luvut olisivat pienimpiä mahdollisia kyseisellä n:n arvolla. Siksi todistus on hyödytön luvun Ta(n) etsimisessä. Toistaiseksi tunnetaan vain seuraavat kuusi taksilukua:A011541 OEIS-tietokannassa:

$\operatorname {Ta} (1)=2=1^{3}+1^{3}$

${\begin{matrix}\operatorname {Ta} (2)&=&1729&=&1^{3}+12^{3}\\&&&=&9^{3}+10^{3}\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\operatorname {Ta} (3)&=&87539319&=&167^{3}+436^{3}\\&&&=&228^{3}+423^{3}\\&&&=&255^{3}+414^{3}\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\operatorname {Ta} (4)&=&6963472309248&=&2421^{3}+19083^{3}\\&&&=&5436^{3}+18948^{3}\\&&&=&10200^{3}+18072^{3}\\&&&=&13322^{3}+16630^{3}\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\operatorname {Ta} (5)&=&48988659276962496&=&38787^{3}+365757^{3}\\&&&=&107839^{3}+362753^{3}\\&&&=&205292^{3}+342952^{3}\\&&&=&221424^{3}+336588^{3}\\&&&=&231518^{3}+331954^{3}\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\operatorname {Ta} (6)&=&24153319581254312065344&=&582162^{3}+28906206^{3}\\&&&=&3064173^{3}+28894803^{3}\\&&&=&8519281^{3}+28657487^{3}\\&&&=&16218068^{3}+27093208^{3}\\&&&=&17492496^{3}+26590452^{3}\\&&&=&18289922^{3}+26224366^{3}\end{matrix}}$

Ta(2):n, joka tunnetaan myös Hardy-Ramanujanin lukuna, julkaisi ensimmäisenä Bernard Frénicle de Bessy vuonna 1657. Hardy-Ramanujan -nimen luku sai matemaatikkojen G. H. Hardy ja Srinivasa Ramanujan tapaamisen yhteydessä. Hardy kertoi tapauksen seuraavasti:[1]:

Menin kerran tapaamaan häntä (Ramanujania) hänen ollessaan sairasvuoteella Putneyssä. Matkustin taksilla numero 1729 ja huomautin luvun olevan harvinaisen ikävystyttävä ja toivovani, ettei kyseessä ollut huono enne. ”Ei”, hän vastasi, ”se on varsin kiinnostava luku, se on pienin luku joka voidaan ilmaista kahden positiivisen kuution summana kahdella eri tavalla.”

Seuraavat taksiluvut löydettiin tietokoneilla: John Leech löysi Ta(3):n vuonna 1957, E. Rosenstiel, J. A. Dardis ja C. R. Rosenstiel Ta(4):n 1991 sekä David W. Wilson Ta(5):n marraskuussa 1997. Ta(6):n löytymisestä ilmoitti Uwe Hollerbach NMBRTHRY - postituslistalla 9. maaliskuuta 2008.

Rajoitetumpi taksilukuongelma edellyttää taksiluvun olevan kuutiolla jaoton, toisin sanoen taksiluku ei saa olla jaollinen millään muulla kuutiolla paitsi 1³:lla. Kun kuutiolla jaoton taksiluku T kirjoitetaan muodossa T = x³+y³, lukujen x ja y on oltava keskenään jaottomia, toisin sanoen niiden suurimman yhteisen tekijän on oltava yksi. Yllä luetelluista taksiluvuista ainoastaan Ta(1) ja Ta(2) ovat kuutiolla jaottomia. Pienimmän kuutiolla jaottoman taksiluvun, jolla on kolme eri esitystapaa, löysi Paul Vojta vuonna 1981 ollessaan jatko-opiskelija. Se on

15170835645

= 517³ + 2468³

= 709³ + 2456³

= 1733³ + 2152³.

Pienimmän kuutiolla jaottoman taksiluvun, jolla on neljä eri esitystapaa, löysivät Stuart Gascoigne ja hänestä riippumattomasti Duncan Moore vuonna 2003. Se on

1801049058342701083

= 92227³ + 1216500³

= 136635³ + 1216102³

= 341995³ + 1207602³

= 600259³ + 1165884³.

A080642 OEIS-tietokannassa

Aiheesta muualla

• A 2002 post to the Number Theory mailing list by Randall L. Rathbun (Arkistoitu – Internet Archive)
• Taxicab and other maths at Euler