Noetherin rengas

Noetherin rengas on Emmy Noetherin mukaan nimetty rengas abstraktissa algebrassa, jonka ideaalit toteuttavat nousevan ketjun ehdon. Tämä tarkoittaa seuraavaa: Olkoon annettu nouseva jono ideaaleja

$I_{1}\,\subseteq \,I_{2}\,\subseteq \,I_{3}\,\subseteq \,\cdots .$

Tällöin on olemassa positiivinen kokonaisluku $n$, jolle

$I_{n}\,=\,I_{n+1}\,=\,I_{n+2}\,=\,\cdots .$

Koska pääideaalialue on rengas, jossa jokainen ideaali on yhden alkion virittämä, ovat Noetherin renkaat pääideaalialueiden yleistyksiä. Esimerkkejä Noetherin renkaista on polynomirenkaan ja formaalien potenssi­sarjojen rengas ja lineaariset vektori­avaruudet.

Johdanto

Kuntakertoimiset polynomirenkaat toteuttavat eräitä ehtoja. Emmy Noether oli ensimmäinen, joka huomasi, että niiden tärkeä ominaisuus on nousevan ketjun ehto. Sen vuoksi Noetherin renkaat on nimetty hänen mukaansa.

Renkaiden vaihdannaisuuden suhteen on Noetherin renkaalla kolme ehtoa.

• Rengas on vasemmanpuoleinen Noetherin rengas, jos sen vasemmanpuoleiset ideaalit toteuttavat nousevan ketjun ehdon.
• Rengas on oikeanpuoleinen Noetherin rengas, jos sen oikeanpuoleiset ideaalit toteuttavat nousevan ketjun ehdon.
• Rengas on Noetherin rengas, jos se on sekä vasemman- että oikeanpuoleinen Noetherin rengas.

Kommutatiivisessa renkaassa kaikki ehdot toteutuvat samanaikaisesti. Epäkommutatiivisella renkaalla näin ei ole, vaan se voi olla joko oikean-, mutta ei vasemmanpuoleinen, tai vasemman-, mutta ei oikeanpuoleinen. Jotta kommutatiivinen rengas olisi Noetherin rengas, sen kaikkien alkuideaalien täytyy Irvin Cohenin mukaan olla äärellisesti generoituvia.