Lukujonon raja-arvo

Lukujonon raja-arvo on matematiikassa lukujonojen käyttäytymista ilmaiseva peruskäsite. Lukujono on järjestetty lukujen luettelo, joka voi olla äärettömän pitkä. Äärettömille lukujonoille on luontevaa tutkia mitä lukuarvoa kohti sen jonon jäsenet lähestyvät. Jos ne lähestyvät yhtä tiettyä lukua, sanotaan lukujonon suppenevan kohti tätä raja-arvoa. Muussa tapauksessa lukujono hajaantuu. [1]

MääritelmäMuokkaa

Lukujonon   raja-arvo on sellainen luku  , että kaikilla   on olemassa   siten, että  , kun  . Sitä, että lukujonon   raja-arvo on  , merkitään

  .

Kun lukujonolla on olemassa raja-arvo, sen sanotaan suppenevan. Lukujono, joka ei suppene, hajaantuu. Jos lukujonolla on raja-arvo, sanotaan myös, että jonon luvut lähestyvät tätä raja-arvoa, kun   kasvaa rajatta (tai lähestyy ääretöntä). Lukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen, ja se suhtautuu lukujonoilla tehtäviin laskutoimituksiin funktion raja-arvon kanssa analogisesti.

Suppeneva lukujono on esimerkiksi

 

Sen raja-arvo on 1 eli   .

Sarjan raja-arvoMuokkaa

Sarjan raja-arvo määritellään vastaavalla tavalla. Jos sarjalla on raja-arvo, se suppenee, muussa tapauksessa se hajaantuu. Suppenevia sarjoja ovat esimerkiksi sellaiset geometriset sarjat, joissa jokainen termi on itseisarvoltaan edellistä pienempi, esimerkiksi

  •  

ja

  •  

Hajaantuvia sarjoja ovat esimerkiksi

  •   ,
  •  

ja

  •  .

Sarja x1 + x2 + x3 + ... voi olla suppeneva vain, jos sen termit suppenevat kohti nollaa eli  . On kuitenkin olemassa olemassa myös sarjoja, joiden termit tosin suppenevat kohti nollaa, mutta jotka kuitenkin hajaantuvat. Yksinkertaisin esimerkki sellaisesta on harmoninen sarja

 .

OminaisuuksiaMuokkaa

  • Lukujonolla voi olla enintään yksi raja-arvo
  • Suppeneva jono on aina rajoitettu
  • Jos   ja  

Tällöin pätee

  .
  .  
 
 

LähteetMuokkaa

  1. Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 96–98 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.