Kroneckerin tulo

Kroneckerin tulo on tulo, joka voidaan määrittää kahdelle tai useammalle matriisille. Tuloa merkitään $\otimes$-symbolilla. Kroneckerin tulo määritellään seuraavasti: Olkoot $A=a_{ij}m\times n$- ja $B=b_{ij}p\times q$-matriisi. Tällöin saadaan matriisi, jonka koko on $mp\times nq$.

$\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}\mathbf {B} &\cdots &a_{1n}\mathbf {B} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}\mathbf {B} &\cdots &a_{mn}\mathbf {B} \end{bmatrix}},$

eli alkioittain tarkasteltuna:

${\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.$

Kroneckerin tulo matriisin ja vakion välillä palautuu normaaliksi matriisin kertomiseksi vakiolla eli $k\otimes A=A\otimes k=kA$, missä $k$ on skalaari. Samoin Kroneckerin tulo matriisin ja nollamatriisin välillä on nolla. Laskettaessa saadaan Kroneckerin tuloa yksikkömatriisin ja matriisin välille, jonka diagonaalilla on matriisi A eli $I\otimes A=diag(A,\dots ,A)$. Vastaavasti matriisin ja yksikkömatriisin välinen Kroneckerin tulo on $A\otimes I={\begin{bmatrix}a_{11}\mathbf {I} &\cdots &a_{1n}\mathbf {I} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}\mathbf {I} &\cdots &a_{mn}\mathbf {I} \end{bmatrix}}$. Diagonaalimatriisin $D=\{d_{i}\}$, jonka koko on $m$ ja matriisin $A$ Kroneckerin tulo on $D\otimes A=diag(d_{1}A,d_{2}A,\dots ,d_{m}A)$

Esimerkki:

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&1\cdot 5&2\cdot 0&2\cdot 5\\1\cdot 6&1\cdot 7&2\cdot 6&2\cdot 7\\3\cdot 0&3\cdot 5&4\cdot 0&4\cdot 5\\3\cdot 6&3\cdot 7&4\cdot 6&4\cdot 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}.$

Laskusääntöjä

Olkoot $A$ ja $B$ $m\times n$-kokoisia matriiseja, $C$ ja $D$ $p\times q$-kokoisia matriiseja sekä $k$ vakio. Tällöin pätevät seuraavat laskusäännöt:

$(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B)$

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C$

$C\otimes (A+B)=C\otimes A+C\otimes B$

$(A+B)\otimes (C+D)=(A\otimes C)+(A\otimes D)+(B\otimes C)+(B\otimes D)$