Vaihdannaisuus

Kommutatiivisuus eli vaihdannaisuus on algebrallinen käsite. Se tarkoittaa sitä, että tietyn operaation lopputulos on sama, olivatpa operandit kummassa järjestyksessä tahansa.

Kommutatiivisuus voidaan määritellä seuraavasti: Olkoon $X$ joukko ja $a$ ja $b$ sen alkioita. Operaatio $\otimes :X\times X\mapsto X$ on kommutatiivinen, jos kaikilla $a$ ja $b$ toteutuu $a\otimes b=b\otimes a$.

Esimerkkejä kommutatiivisista operaatioista

Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolasku ovat kommutatiivisia operaatioita, sillä a + b = b + a ja c * d = d * c kaikilla luonnollisilla luvuilla a, b, c ja d.

Määritellään vektorien pistetulo: Olkoot $\mathbf {x} =x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}$ ja $\mathbf {y} =y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n}$ reaalisia tai kompleksisia vektoreita. Vektorien x ja y pistetulo määritellään seuraavasti:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\ldots +x_{n}y_{n}$

Pistetulon määritelmästä ja kertolaskun kommutatiivisuudesta seuraa että pistetulo on kommutatiivinen:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\ldots +x_{n}y_{n}=y_{1}x_{1}+y_{2}x_{2}+\ldots +y_{n}x_{n}=\mathbf {y} \cdot \mathbf {x}$

Esimerkkejä ei-kommutatiivisista operaatioista

Vähennyslasku ja jakolasku eivät ole kommutatiivisia operaatioita, sillä 4−3 ≠ 3−4, ja 8:2 ≠ 2:8.

Katso myös

• liitännäisyys
• osittelulaki
• antikommutatiivisuus

Kirjallisuutta

• Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
• Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.