Gudermannin funktio

Gudermannin funktio eli hyperbolinen amplitudi on erikoisfunktio, joka yhdistää trigonometriset funktiot hyperbolisiin funktioihin ilman kompleksilukujen käyttöä. Gudermannin funktion käänteisfunktio kuvaa leveyspiirin kuvautumista kartan -akselille yleisesti käytetyssä Mercatorin karttaprojektiossa. Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon Cristoph Gudermannin (17981852) mukaan [1].

Gudermannin funktio asymptootteineen

Gudermannin funktio, , määritellään

[2]

Gudermannin funktion käänteisfunktio on vastaavasti

OminaisuuksiaMuokkaa

Gudermannin funktio on pariton, sillä

 

Sillä on myös kaksi asymptoottia

 
 

Yhteys trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä

 
 
 
 
 
 

ja lisäksi

 

Eksponenttifunktioon Gudermannin funktiolla on yhteys

 

Funktion ja sen käänteisfunktion derivaatat ovat

 
 

Gudermannin funktio yleistyy suoraan kompleksilukuargumenteille. Puhtaasti imaginääriselle argumentille on voimassa

 

LähteetMuokkaa

  1. Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 780. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.
  2. Weisstein, Eric W.: CRC Concise Encylopedia of Mathematics, s. 1271–1272. , 2003.

Aiheesta muuallaMuokkaa