Gudermannin funktio

Gudermannin funktio eli hyperbolinen amplitudi on erikoisfunktio, joka yhdistää trigonometriset funktiot hyperbolisiin funktioihin ilman kompleksilukujen käyttöä. Gudermannin funktion käänteisfunktio kuvaa leveyspiirin kuvautumista kartan $y$-akselille yleisesti käytetyssä Mercatorin karttaprojektiossa. Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon Cristoph Gudermannin (1798–1852) mukaan .

Gudermannin funktio asymptootteineen

Gudermannin funktio, $gd$, määritellään

$\operatorname {gd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}=2\arctan(e^{x})-{\frac {\pi }{2}}.$

Gudermannin funktion käänteisfunktio on vastaavasti

$\operatorname {arcgd} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cos t}}={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right)$

Ominaisuuksia

Gudermannin funktio on pariton, sillä

$\operatorname {gd} (-x)=-\operatorname {gd} (x)\,$

Sillä on myös kaksi asymptoottia

$\lim _{x\rightarrow \infty }\operatorname {gd} (x)={\frac {\pi }{2}}$

$\lim _{x\rightarrow -\infty }\operatorname {gd} (x)=-{\frac {\pi }{2}}$

Yhteys trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välillä

$\sinh(x)=\tan(\operatorname {gd} (x))\,$

$\cosh(x)=\sec(\operatorname {gd} (x))\,$

$\tanh(x)=\sin(\operatorname {gd} (x))\,$

$\operatorname {sech} (x)=\cos(\operatorname {gd} (x))\,$

$\operatorname {csch} (x)=\cot(\operatorname {gd} (x))\,$

$\coth(x)=\csc(\operatorname {gd} (x))\,$

ja lisäksi

$\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)=\tan \left({\frac {\operatorname {gd} (x)}{2}}\right)$

Eksponenttifunktioon Gudermannin funktiolla on yhteys

$e^{x}={\frac {1+\sin(\operatorname {gd} (x))}{\cos(\operatorname {gd} (x))}}$

Funktion ja sen käänteisfunktion derivaatat ovat

${\frac {d}{dx}}\operatorname {gd} (x)=\operatorname {sech} x$

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arcgd} (x)=\sec x$

Gudermannin funktio yleistyy suoraan kompleksilukuargumenteille. Puhtaasti imaginääriselle argumentille on voimassa

$\operatorname {gd} (ix)=i\operatorname {arcgd} (x)\,$

Aiheesta muualla

• Gudermannin funktio Mathworldissa (englanniksi)