Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.
Joukko-opissa käytettävä Cantorin–Schröderin–Bernsteinin lause on nimetty Georg Cantorin, Felix Bernsteinin ja Ernst Schröderin mukaan. Lauseessa esitetään, että jos joukkojen ja välillä on olemassa injektiiviset funktiot ja , on olemassa bijektio. Tarkoitettaessa joukkojen mahtavuutta tämä tarkoittaa, että jos ja , on oltava . Tulos on usein hyödyllinen, jos joukkoja on tarpeen järjestää niiden mahtavuuden mukaan.
Olkoot ja injektioita sekä ja . Nyt ja ovat bijektioita, joten on olemassa käänteisfunktiot ja , jotka ovat bijektioita.
Määritellään :n jälkeläisten lukumäärä, kun :
ei jälkeläisiä, kun
1 jälkeläinen, kun
2 jälkeläistä, kun
3 jälkeläistä, kun
jne.
Vastaavalla tavalla määritellään :n, kun , jälkeläisten lukumäärä.
Merkitään , ja . Koska ja ovat bijektioita, niin , , jne. ovat bijektioita, joten yksikäsitteisesti joko , tai . Tällöin ja .
Määritellään:
Osoitetaan vielä, että on bijektio:
Olkoon . Joko tai . Jos , niin :llä on vähintään kaksi jälkeläistä, joten siten, että . Jos , niin . Näin ollen on surjektio.
Olkoot ja . Väite: on injektio . Tehdään vastaoletus: . Koska on injektio ja on bijektio, niin ja , joten . Koska ja ovat bijektioita, niin, kuten edellä, :llä on pariton tai rajaton määrä ja :llä 0 tai parillinen määrä jälkeläisiä. Ollaan saatu ristiriita sen kanssa, että . Täytyy siis päteä . Näin ollen on injektio.