Säännöllinen viisikulmio

Säännöllinen viisikulmio on geometriassa viisikulmainen monikulmio eli viisikulmio, jossa kaikki sivut ja kulmat ovat yhtä suuria. Antiikin Kreikassa se piirrettiin ympyrään jakamalla sen kehä viiteen yhtä pitkään kaareen ja yhdistämällä näin saadut pisteet janoilla. Samalla menetelmällä voitiin piirtää myös pentagrammi.

Säännöllinen konveksi viisikulmio

Säännöllinen itseään leikkaava viisikulmio eli pentagrammi

Kirjallisuudessa säännöllinen viisikulmio tarkoittaa säännöllistä konveksia viisikulmiota. Sana viisikulmio voidaan suomeksi kirjoittaa myös 5-kulmio. Se on yksinkertainen ja konveksi monikulmio. Koska sivut ovat saman pituiset, on se tasasivuinen, ja koska kulmat ovat yhtä suuria, on se myös tasakulmainen monikulmio. Tämä tekee siitä säännöllisen monikulmion. Jokaisen säännöllisen monikulmion sisä- ja ulkopuolelle voidaan piirtää ympyrät, joiden kehällä on kaikki monikulmien kärjet tai sitä sivuavat kaikki sivut. Säännöllinen viisikulmio on siksi myös syklinen ja tangentiaalinen viisikulmio.

Muodostuminen

Ympyränkaaren säännöllisen osittamisen lisäksi säännöllisen viisikulmion voidaan ajatella syntyvän murtoviivasta, jossa on viisi yhtä pitkää janaa, kun se asetetaan ympyrän kehälle niin, että sivujen keskikohdat koskettavat ympyrää tangentiaalisesti. Pienentämällä sisäympyrän sädettä, liikkuvat murtoviivan päätepisteet lähemmäksi toisiaan ja ne koskettavat toisiaansa, on syntynyt säännöllinen viisikulmio (k = 1), ja kun ne koskettavat toisiaan toisen kerran, on syntynyt pentagrammi (k = 2, katso viereinen animaatio). Viisikulmioita on olemassa k_max erilaista variaatiota, koska

$k_{max}=\left\lfloor {\frac {5-1}{2}}\right\rfloor =2.$

Variaatioita kutsutaan k-tangentiaalisisiksi säännöllisiksi viisikulmioiksi. Silloin 1-tangentiaalinen säännöllinen viisikulmio tarkoittaa säännöllistä viisikulmiota ja 2-tangentiaalinen säännöllinen viisikulmio tarkoittaa pentagrammia. Muita kosketuksia ei enää synny, joten nämä kaksi kuviota ovat ainoat säännölliset viisikulmaiset kuviot.

Säännöllisiä monikulmioita voidaan merkitä käyttäen Schläflin symboleja {n/k}. Säännöllinen viisikulmio merkitään {5} eli murtoluvulla {5/1} ja pentagrammi murtoluvulla {5/2}.

Erityispiirteet

Kultainen leikkaus

Monet mitat säännöllisissä viisikulmioissa liittyvät kultaiseen leikkaukseen. Se on irrationaaliluku, joka yksi isompi kuin käänteislukunsa

$\varphi =1+{\frac {1}{\varphi }}\Leftrightarrow \varphi ^{2}-\varphi -1=0,$

jonka positiivinen juuri on tämä luku

$\varphi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})\approx 1{,}618033988749894848204586834365638117720....$

Jos piirtäjä pystyy muodostamaan tämän luvun harpilla ja viivoittimella, niin säännöllisten viisikulmioiden piirtäminen konstruoinnilla on mahdollista. Ympyrän viisi kehäpistettä (A, B, ... , E) yhdistävät viisi janaa (esimerkiksi AC ja BE) leikkaavat toisensa kultaisessa suhteessa. Jos leikkauspiste on F, saadaan verranto

${\frac {BF}{FE}}={\frac {FE}{BE}}=\varphi .$

Kulmat

Merkitään ympyrän kehältä tasavälein viisi pistettä, joiden välisten kaarten keskuskulmat ovat 1/5−osa täydestä kierroksesta eli 72°. Kahden vierekkäisen pisteen yhdistäminen janalla muodostaa yhden monikulmion sivun. Viiden sivun piirtämiseksi joutuu kiertämään ympyrän keskipistettä 5 · 72° = 360°. Monikulmion ulkokulma kertoo, miten suuri on sivun jatkeen ja seuraavan sivun välinen kulma, eli miten jyrkästi sivun kärjessä käännytään, kun piirretään seuraavaa sivua. Säännöllisen viisikulmion ulkokulma on 360° / 5 = 72°. Sisäkulma on sivujen välinen kulma, joka aukeaa monikulmion sisäosaan päin. Se on viisikulmiossa (5 − 2) · 180° / 5 = 108°.

Lävistäjät ja osakolmiot

Säännöllisen viisikulmion kaksi muotoa, konveksi viisikulmio ja pentagrammi, syntyvät murtoviivan kiertyessä sopivan kokoisen ympyrän ympäri.

Kaikki lävistäjät, joita on ${\tbinom {5}{2}}-5=5$, ovat kaikki saman pituisia. Kukin lävistäjä leikkaa kahta muuta lävistäjää kahdesta kohtaa ja kumpikin leikkauskohta jakaa lävistäjän kultaisessa suhteessa. Jos viisikulmion jakaa symmetriakeskipisteestä alkavilla ja kärkiin päättyvillä säteillä osiin, saadaan viisi yhtenevää tasakylkistä kolmiota. Niiden kulmat ovat 72°−54°−54° ja sivut R−R−s (katso mitat seuraavassa). Kolmion kannan suhde kylkeen on kultainen suhde ja kolmiota kutsutaan kultaiseksi kolmioksi. Kun kolmion jakaa puoliksi apoteemalla eli korkeusjanalla r, saadaan suorakulmaisesta kolmiosta 54°−36°−90° laskettua r.

Kun sama viisikulmio jakaa kolmeen kolmioon monikulmion lävistäjien avulla, saadaan kahdenlaisia tasakylkisiä kolmioita. Keskelle sijoittuu suurin kolmio, jolla on kulmat 36°−72°−72°, korkeus H ja sivut d−s−d. Kolmion kummallekin puolelle sijoittuu kolmiot, joiden kulmat ovat 72°−36°−36°, korkeus h ja sivut s−d−s.

Sisäympyrän säde

Säännöllisen tangentiaalisen viisikulmion sisäympyrän säteen r_k (jota kutsutaan myös pieneksi säteeksi eli apoteemaksi ) laskemiseksi ratkaistaan sisäympyröiden säteet generoiva yhtälö (siinä on sivu väliaikaisesti s = 1)

${\binom {5}{1}}{\frac {1}{2}}r^{4}-{\binom {5}{3}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}r^{2}+{\binom {5}{5}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{5}=0$

eli

$80r^{4}-40r^{2}+1=0,$

josta saadaan säännöllisen viisikulmion sisäympyrän säde (k = 1, sivun pituus on taas s)

$r_{1}={\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{20}}}s={\frac {s}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\approx 0{,}68819s$

tai pentagrammin sisäympyrän säde (k = 2)

$r_{2}={\sqrt {\frac {5-2{\sqrt {5}}}{20}}}s={\frac {s}{2}}{\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\approx 0{,}16249s.$

Mittoja

Viisikulmion rakenne.

Säännöllisen viisikulmion sivun pituus on s. Silloin siihen liittyviä mittoja ovat

$r=r_{1}={\frac {s}{2\tan 36^{\circ }}}={\frac {s}{2}}\cot 36^{\circ }={\frac {s}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\approx 0{,}68819s$ (apoteema)

$R={\frac {s}{2\sin 36^{\circ }}}={\frac {s}{2}}{\sqrt {2+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\approx 0{,}85065s$

$d=2s\sin 54^{\circ }={\frac {s}{2}}(1+{\sqrt {5}})=\varphi s\approx 1{,}61803s$

$h=s(1-{\frac {\varphi ^{2}}{4}})={\tfrac {1}{4}}(10-2{\sqrt {5}})s\approx 0{,}58778s$

$D=R-h$ (lävistäjän etäisyys keskipisteestä)

$H=r+R$ (viisikulmion korkeus)

$w={\frac {s}{2}}{\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\approx 0{,}162460s$ (sagitta)

Säännöllisen viisikulmion pinta-ala on $A={\frac {s^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}.$

Konstruktio

Vaihtoehtoinen tapa konstruoida säännöllinen viisikulmio tai pentagrammi.

Jo antiikin kreikan geometrian puhtaassa haarassa korostettiin ratkaisujen älyllisiä perusteluita ja kuvioiden konstruoitavuutta. Vain harppia ja viivainta käyttäen tuli kuvio voida piirtää lähtien vain muutamasta lähtötiedosta ja joukosta päättelysääntöjä. Viisikulmiolla on muutama antiikin aikainen ratkaisu.

Viisikulmiot voidaan piirtää ympyrän avulla, kunhan kehä pystytään jakamaan viiteen yhtä pitkään kaareen. Näin toimitaan sekä Euklideen että Ptolemaioksen esittelemissä menetelmissä, mutta vaiheet ovat erilaiset. Euklideen kirjassa IV (lause 11) on ohje piirtää säännöllisen viisikulmion sivu on käyttää tasakylkistä kolmiota, jonka kantakulma on kaksi kertaa huippukulma. Kolmiossa on silloin huippukulmana 36 ja kantakulmissa 72. Ympyrään, jonka halkaisija puolittaa sen, kopioidaan mainitut kulmat ja piirretään tasakylkinen kolmio. Kolmion kanta on säännöllisen viisikulmion sivun pituus. Ptolemaios suoritti säännöllisen viisikulmion piirtämisen eri tavalla. Piirretään ympyrä annetun keskipisteen O ympärille ja sille halkaisija AOB. Pisteeseen O piirretään kohtisuora säde OP, joka puolitetaan pisteellä M. M keskipisteenä ja MP säteenä piirretään kaari halkaisijan AB yli kohtaan R. Jana OR on säännöllisen 10-kulmion sivu ja merkitsemällä näitä kaksi peräkkäin ympyrän kaarelle, saadaan jänteeksi säännöllisen 5-kulmion sivun pituus.

Modernimpi esitys on seuraava. Jana AB, joka tulee olemaan pentagrammin sivu, jaetaan kultaiseen suhteeseen. Janan päätepisteeseen B piirretään kohtisuora pisteeseen P, jonka pituus BP on puolet janasta AB. Kohtisuoran päätepisteestä P pyöräytetään ympyrän kaari, joka alkaa pisteestä B ja leikkaa hypotenuusan AP pisteessä Q. Siirretään harppi pisteeseen A ja piirretään kaari, joka alkaa pisteestä Q ja leikkaa janan AB pisteessä X. Piste X jakaa janan AB kultaiseen suhteeseen, jossa AX on pitempi sivu ja AX : XB = φ : 1. Mitataan BX ja piirretään janalle AB toinen jakopiste Y pisteen A päähän. Kaksi muuta lävistäjää tulevat kulkemaan pisteiden X ja Y kautta. Kolmas kehäpiste C löytyy leikkauspisteessä, missä pisteistä X ja Y säteenään AY piirrettyjen ympyröiden kaaret leikkaavat. Piirretään pisteiden ABC kautta kulkeva ympyrä ja lisätään siihen janat CXE ja CYF, jotka ovat viisikulmion lävistäjät.

Viereinen animaatio esittää vaihtoehtoisen tavan konstruoida viisikulmio tai pentagrammi:

1. Piirretään suoralle piste O, josta pyöräytetään ympyrän annetulla säteellä. Suora leikkaa ympyrän pisteissä A ja B.
2. Keskipisteeseen piirretään suoralle kohtisuora kahden kaaren väliin. Suora leikkaa ympyrän tulevan viisikulmion kärjestä C.
3. Piirretään ympyrän säteellä kaari pisteen B ympäri, jolloin kaari leikkaa ympyrää kahdesti. Vedetään viivaimella leikkauspisteiden kautta sivun OB jakaja. Jakaja puolittaa janan OB pisteellä D.
4. Piirretään vasemmalta oikealle pisteen D ympäri puoliympyrän kaari säteenä DC. Kaari leikkaa suoran AB pisteissä E ja F.

Lyhyempi jana EC on säännöllisen viisikulmion sivun pituus.

Pitempi jana CF on sekä pentagrammin sivun että viisikulmion lävistäjän pituus.

1. Piirretään pisteen C ympäri säteenään EC kaari, joka leikkaa ympyrää pisteissä G ja H.
2. Piirretään pisteen C ympäri säteenään CF kaari, joka leikkaa ympyrää pisteissä I ja J.
3. Piirretään pisteiden C, H, J, I ja G sivut viisikulmiota tai pentagrammia varten.

Kaksinkertainen viisikulmio

Kaksinkertainen viisikulmio eli 10-kulmio.

Säännöllisellä viisikulmiolla voidaan muodostaa kaksinkertainen tähtimonikulmio, joka on samalla 10-kulmio. Sen Schläflin symboli on {10/2}.

Katso muualla

• Pentagrammin geometriaa ja sen käyttötavoista.
• Dodekaedrissa on 12 tasasivuista viisikulmiota
• Ikosaedrissa kaksikymmentä tasasivuista kolmiota muodostavat säännöllinen viisikulmion muotoisia soppeja

Lähteet

• Väisälä, Kalle: Geometria. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 29.9.2013).
• Lehtinen, Matti: Geometrian perusteita. Solmu, 2011. Helsinki: Helsingin Yliopisto. ISSN 1458-8048. Artikkelin verkkoversio (pdf). Viitattu 6.10.2013. (Arkistoitu – Internet Archive)

Aiheesta muualla

• William Tong and Holger R. Dullin: The Equilateral Pentagon at Zero Angular Momentum: Maximal Rotation Through Optimal Deformation arXiv.org. 10.12.2012. University of Sydney, Australia. Viitattu 5.10.2013.
• Loy, Jim: Eri tapoja piirtää säännöllinen viisikulmio (Arkistoitu – Internet Archive), 1999
• Constructing a Regular Pentagon, University of Manchester
• GeoGebra 4.0: Regular Pentagon Construction
• Sarhangi, Reza: Regular Polygons and the Geometer’s Sketchpad (Arkistoitu – Internet Archive), Towson University
• Säännöllisen viisikulmion H. W. Richmond'in konstruointimenetelmä