Irrationaaliluku

Irrationaaliluku on matematiikassa reaaliluku, jota ei voi esittää kahden kokonaisluvun suhteena, eli rationaalilukuna ${m}/{n}$, missä $m$ ja $n$ ovat kokonaislukuja. Irrationaalilukua ei voi esittää päättyvänä tai jaksollisena desimaalilukuna.

Irrationaalilukuja ovat muun muassa ympyrän kehän ja halkaisijan suhde pii, Neperin luku, kultaisen leikkauksen suhde, useimpien kokonaislukujen juuret (esimerkiksi ${\sqrt {2}}$), useat logaritmit ja useat trigonometristen funktioiden arvot.

Historia

Ensimmäisen kerran länsimaisessa historiassa joutui irrationaalilukujen kanssa vastatusten Pythagoras ja hänen oppilaansa. Pythagoralaiset uskoivat kaikkien matemaattisten asioiden olevan käsiteltävissä pelkästään rationaalilukujen kautta, kunnes alkoivat miettiä sen neliön lävistäjän pituutta, jonka sivun pituus on yksi. He käyttivät Pythagoraan lausetta mutta huomasivat, ettei mikään rationaaliluku toteuta yhtälöä x² = 2. Toisin sanoen neliön lävistäjä ja sivu ovat keskenään yhteismitattomia. Ilman tätä havaintoa voitaisiin ajatella, että rationaaliluvuilla saadaan koko lukusuora katetuksi, sillä jokaisen kahden murtoluvun välissä on aina ääretön määrä rationaalilukuja. Kesti yli kaksituhatta vuotta ennen kuin saksalainen matemaatikko Richard Dedekind vuonna 1872 onnistui liittämään rationaali- ja irrationaaliluvut hyväksyttävin perustein yhdeksi suureksi lukujoukoksi, reaaliluvuiksi.

Vaikka rationaalilukuja on ääretön määrä, on irrationaalilukuja tavallaan vieläkin enemmän, minkä todisti Georg Cantor muutamaa vuotta Dedekindin jälkeen. Hän osoitti, ettei irrationaalilukujen joukkoa voida järjestää loputtomaksi jonoksi, toisin kuin kokonaislukujen ja rationaalilukujen joukot. Tätä kutsutaan ylinumeroituvuudeksi.

Irrationaaliluvuista ja rationaaliluvuista

Kahden rationaaliluvun summa tai erotus on aina rationaaliluku. Kahden irrationaaliluvun summa tai erotus voi kuitenkin olla niin irrationaali- kuin rationaalilukukin.

Esimerkkinä kahden irrationaaliluvun summasta, joka on rationaaliluku, ovat luvut $1+{\sqrt {2}}$ ja $1-{\sqrt {2}}$, joiden summa on $2$.

Esimerkki irrationaalisuuden todistamisesta

Luku ${\sqrt {2}}$ voidaan todistaa irrationaaliluvuksi epäsuorasti. Tehdään vastaoletus: oletetaan, että ${\sqrt {2}}$ on rationaaliluku, eli että on olemassa kokonaisluvut $m$ ja $n$ siten, että $m/n={\sqrt {2}}$. Ainakin toisen luvuista $m$ ja $n$ voidaan olettaa olevan pariton, koska muuten murtolukua ${m}/{n}$ voidaan supistaa luvulla kaksi.

Luvun neliö on ${m^{2}}/{n^{2}}=2$, mistä saadaan kokonaislukujen neliöiden välinen yhtälö $m^{2}=2n^{2}$. Parittoman luvun neliö on selvästi pariton, joten tällöin $m$:n on oltava parillinen eli muotoa $2j$, missä $j$ on kokonaisluku. Koska luku $m$ on parillinen, on luvun $n$ oltava pariton. Toisaalta $m^{2}=4j^{2}$, jolloin neliöiden välinen yhtälö voidaan supistaa muotoon $2j^{2}=n^{2}$. Koska parittoman luvun neliö on pariton, ollaan saatu ristiriita. Täten alkuperäinen väite pätee, eli ${\sqrt {2}}$ on irrationaaliluku.

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Aiheesta muualla

• Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Irrationaaliluku Wikimedia Commonsissa

Lukujoukkoja

Numeroituvia joukkoja:	luonnolliset luvut ($\scriptstyle \mathbb {N}$) kokonaisluvut ($\scriptstyle \mathbb {Z}$) rationaaliluvut ($\scriptstyle \mathbb {Q}$) algebralliset luvut ($\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$)
Reaaliluvut ja niiden laajennokset:	reaaliluvut ($\scriptstyle \mathbb {R}$) kompleksiluvut ($\scriptstyle \mathbb {C}$) kvaterniot ($\scriptstyle \mathbb {H}$) irrationaaliluvut transsendenttiluvut surreaaliluvut
Muita:	kardinaaliluvut p-adiset luvut