Binomijakauma on dikotomisen toistokokeen lopputulosten lukumäärän jakauma .[1]
Binomijakauma
Todennäköisyysfunktio
Kertymäfunktio
Merkintä
B (n , p )
Parametrit
n ∈ N 0 p ∈ [0,1] — kunkin kokeen onnistumistodennäköisyys
Määrittelyjoukko
k ∈ { 0, …, n } — onnistumisten lukumäärä
Pistetodennäköisyysfunktio
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle \textstyle {n \choose k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}}
Kertymäfunktio
I
1
−
p
(
n
−
k
,
1
+
k
)
{\displaystyle \textstyle I_{1-p}(n-k,1+k)}
Odotusarvo
np
Mediaani
⌊np ⌋ tai ⌈np ⌉
Moodi
⌊(n + 1)p ⌋ tai ⌊(n + 1)p ⌋ − 1
Varianssi
np (1 − p )
Vinous
1
−
2
p
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}}
Huipukkuus
1
−
6
p
(
1
−
p
)
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}}
Entropia
1
2
log
2
(
2
π
e
n
p
(
1
−
p
)
)
+
O
(
1
n
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n}}\right)}
Momentit generoiva funktio
(
1
−
p
+
p
e
t
)
n
{\displaystyle (1-p+pe^{t})^{n}\!}
Karakteristinen funktio
(
1
−
p
+
p
e
i
t
)
n
{\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}\!}
Todennäköisyydet generoiva funktio
G
(
z
)
=
[
(
1
−
p
)
+
p
z
]
n
.
{\displaystyle G(z)=\left[(1-p)+pz\right]^{n}.}
Fisherin informaatiomatriisi
g
(
p
,
n
)
=
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle g(p,n)={\frac {n}{p(1-p)}}}
(vain jatkuvan parametrin tapauksessa)
Binomijakauma on diskreetti. Jos satunnaismuuttuja
X
{\displaystyle X}
binomijakautunut , merkitään[1]
X
∼
Bin
(
n
,
p
)
.
{\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p).}
Jakauman parametri
0
≤
p
≤
1
{\displaystyle 0\leq p\leq 1}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
{
0
,
1
,
.
.
.
,
n
}
{\displaystyle \{0,1,...,n\}}
Pistetodennäköisyysfunktio on
P
(
X
=
i
)
=
(
n
i
)
p
i
(
1
−
p
)
n
−
i
{\displaystyle \operatorname {P} (X=i)={n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}}
i
{\displaystyle i}
Odotusarvo ja varianssi ovat
E
(
X
)
=
n
p
{\displaystyle \operatorname {E} (X)=np}
Var
(
X
)
=
n
p
(
1
−
p
)
.
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=np(1-p).}
Jos
X
1
∼
Bin
(
n
1
,
p
)
{\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Bin} (n_{1},p)}
X
2
∼
Bin
(
n
2
,
p
)
{\displaystyle X_{2}\sim \operatorname {Bin} (n_{2},p)}
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
X
1
+
X
2
∼
Bin
(
n
1
+
n
2
,
p
)
{\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \operatorname {Bin} (n_{1}+n_{2},p)}
Binomijakauman yhteys Bernoullin jakaumaan on
Bin
(
1
,
p
)
=
B
(
p
)
.
{\displaystyle \operatorname {Bin} (1,p)=\operatorname {B} (p).}
Aiheesta muualla
muokkaa
Commons
Diskreettejä jakaumia
Jatkuvia jakaumia
Moniulotteisia jakaumia
![{\displaystyle G(z)=\left[(1-p)+pz\right]^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b882d226739a271dd2d513336fb42612be9f714f)
