Hypergeometrinen jakauma

Hypergeometrinen jakauma on palauttamattomassa otannassa määrätyn osajoukon esiintymisten jakauma.

Hypergeometrinen jakauma

Todennäköisyysfunktio
Kertymäfunktio
Parametrit	${\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}\,$
Määrittelyjoukko	$\scriptstyle {k\,\in \,\left\{\max {(0,\,n+K-N)},\,\dots ,\,\min {(K,\,n)}\right\}}\,$
Pistetodennäköisyysfunktio	${{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}$
Kertymäfunktio	$1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}} \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right]$
Odotusarvo	$n{K \over N}$
Moodi	$\left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor$
Varianssi	$n{K \over N}{(N-K) \over N}{N-n \over N-1}$
Vinous	${\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}$
Huipukkuus	$\left.{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.$ ${\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\Big )}+$ $6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\Big ]}$
Momentit generoiva funktio	${\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!$
Karakteristinen funktio	${\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}$

Hypergeometrinen jakauma on diskreetti. Jos satunnaismuuttuja $X$ on hypergeometrisesti jakautunut, merkitään

$X\sim \operatorname {Hyperg} (N,M,n).$

Parametri $N$ on perusjoukon alkioiden lukumäärä, $M$ määrätyn osajoukon alkioiden lukumäärä ja $n$ on ottojen lukumäärä. Jakauman arvojoukko on $\{0,1,...,n\}$. Pistetodennäköisyysfunktio on

$\operatorname {P} (X=i)={\frac {{M \choose i}{N-M \choose n-i}}{N \choose n}}.$

Odotusarvo ja varianssi ovat

$\operatorname {E} (X)={\frac {nM}{N}}$ ja $\operatorname {Var} (X)={\frac {(N-n)nM(N-M)}{(N-1)N^{2}}}.$

Katso myös

• Binomikerroin

Aiheesta muualla

• Mathworld: Hypergeometric Distribution