Pareto-jakauma on todennäköisyysjakauma, joka on nimetty italialaisen yhteiskuntatieteilijä Vilfredo Pareton mukaan. Muilla tieteenaloilla sitä kutsutaan toisinaan Bradford-jakaumaksi.

Pareto-jakauma
Tiheysfunktio
Pareto-jakauman tiheysfunktio
Pareto-jakauman tiheysfunktio piirrettynä useilla eri parametrin α (merkitty "k") arvoilla, kun xm = 1. Kun α → ∞, niin jakauma lähestyy funktiota δ(x − xm), missä δ on Diracin deltafunktio.
Kertymäfunktio
Pareto-jakauman kertymäfunktio
Pareto-jakauman kertymäfunktio piirrettynä useilla eri parametrin α(merkitty "k") arvoilla, kun xm = 1.
Parametrit skaala (reaalinen)
muoto (reaalinen)
Määrittelyjoukko
Tiheysfunktio
Kertymäfunktio
Odotusarvo
Mediaani
Moodi
Varianssi
Vinous
Huipukkuus
Entropia
Momentit generoiva funktio
Karakteristinen funktio
Fisherin informaatiomatriisi

Alun perin Pareto käytti jakaumaa kuvaamaan varallisuuden jakautumista ihmisten kesken. Jakauma näytti kuvaavan varsin hyvin, kuinka pieni joukko ihmisiä omistaa aina suhteellisesti isomman osuuden varallisuudesta yhteiskunnissa. Ideaa kutsutaan joskus yksinkertaisemmin Pareton periaatteeksi.

Esimerkkejä sovelluksista muokkaa

  • Sanojen osuus pitkissä teksteissä
  • Ihmisasutusten koko (vähän kaupunkeja, paljon kyliä)
  • Tiedostojen jakauma internet-liikenteessä, joka käyttää TCP-protokollaa (paljon pieniä ja vähän suuria tiedostoja)

Ominaisuudet muokkaa

Jos X on Pareto-jakautunut satunnaismuuttuja, niin todennäköisyys, että X on suurempi kuin jokin luku x on

 

kaikilla xxm, missä xm on (aina positiivinen) pienin mahdollinen X:n arvo ja k on positiivinen parametri. Pareto-jakaumilla on kaksi parametria: xm ja k. Kun jakaumaa käytetään varallisuuden jakauman mallinnukseen, k:ta kutsutaan Pareto-indeksiksi.

Näin ollen tiheysfunktio on

 

kaikilla xxm. Pareto-jakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan odotusarvo on

 

(jos  , odotusarvo on ääretön). Sen varianssi on

 

(jos  , varianssi on ääretön).

Aiheesta muualla muokkaa

 
Commons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Pareto-jakauma.