Operaation suhteen suljettu joukko

Lukujoukko on suljettu operaation suhteen, jos n-muuttujan operaatio eli funktio $f$, jonka muuttujat saadaan samasta joukosta $S$, antaa tulokseksi luvun, joka myös kuuluu joukkoon $S.$ Tämä voidaan merkitä

$f:S^{n}\rightarrow S$

ja

$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a,$

missä $x_{1},x_{2},...,x_{n},a\in S.$

Esimerkkejä

Binäärioperaatioissa $\star$ on kyse kaksimuuttujaisesta funktiosta $\star :S\times S\rightarrow S$ eli merkinnästä $a\star b$, jonka tulos kuuluu tai ei kuulu samaan joukkoon $S$. Vähennyslaskun laskuoperaatio luonnollisten lukujen joukossa eli pari $(\mathbb {N} ,-)$ ei ole suljettu vähennyslaskuoperaation suhteen, koska vähennettäessä pienemmästä luvusta suurempi, saadaan tuloseksi negatiivinen kokonaisluku, joka ei kuulu luonnollisiin lukuihin. Yhteenlaskun suhteen luonnolliset luvut, eli pari $(\mathbb {N} ,+)$, muodostavat suljetun joukon, koska kahden pienen luonnollisen luvun summa on aina suurempi luku, joka kuuluu aina luonnollisiin lukuihin. Vastaavasti voidaan todeta, että kahden luvun kertolasku $(\mathbb {N} ,*)$ on suljettu operaation suhteen. Jakolasku $(\mathbb {N} ,\div )$ taas ei ole suljettu operaation suhteen, koska tulokseksi tuleva murtoluku ei ole aina luonnollinen luku.

Kokonaisluvut on suljettu joukko yhteen-, vähennys- ja kertolukujen suhteen eli $(\mathbb {Z} ,+)$, $(\mathbb {Z} ,-)$ ja $(\mathbb {Z} ,*)$. Jakolasku on suljettu joukko kaikkien- tai positiivisten rationaalilukujen joukossa eli $(\mathbb {Q} ,\div )$ ja $(\mathbb {Q} _{+},\div )$.

Luonnollisten lukujen osajoukko parilliset luvut on yhteen- ja kertolaskun suhteen suljettu joukko. Jos parilliset luvut sisältävät myös negatiiviset parilliset luvut, on se suljettu myös vähennyslaskun suhteen.

Aiheesta lisää

• Esimerkkejä renkaista tai pdf
• Ryhmä (algebra)
• BOOLEN ALGEBROISTA^{[vanhentunut linkki]}
• Closure Property (Arkistoitu – Internet Archive)
• set closed under an operation (Arkistoitu – Internet Archive)
• binary operations (Arkistoitu – Internet Archive)
• Operation whith whole numbers^{[vanhentunut linkki]}
• How To Teach Algebraic Closure
• Katso myös suljettu joukko